Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция интегрируема на отрезке . Определим на этом же отрезке функцию

,

которую часто называют интегралом с переменным верхним пределом. Из свойства аддитивности определенного интеграла вытекает корректность определения функции для .

Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция интегрируема на отрезке , то функция будет непрерывной на этом отрезке.

Доказательство. Интегрируемая на отрезке функция ограничена на нем, то есть существует такое число , что на . Пусть , и пусть - приращение независимой переменной, при котором . Воспользовавшись свойством аддитивности, а также теоремами об оценках определенного интеграла, получим

.

То есть , что означает непрерывность функции в точке .

Теорема (о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда функция будет дифференцируемой на этом отрезке.

Доказательство. ,

где лежит между и . Из непрерывности следует, что при будет справедливо .

Основная формула интегрального исчисления.

Доказанная выше теорема означает, что для непрерывной на функции интеграл будет первообразной функцией. Если какая-либо другая первообразная , то . Имеем

,

поэтому . При получим

.

Это - формула Ньютона-Лейбница, - основная формула интегрального исчисления.

Мы можем вычислять определенный интеграл, не используя интегральные суммы.

Пример 1. .

Пример 2. Среднее интегральное значение функции на отрезке

.

Формула интегрирования по частям.

Теорема. Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то справедливо соотношение

.

Доказательство. По правилу дифференцирования производной произведения имеем

.

По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а, значит, и интегрируемы на отрезке . Используя линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Пример 3. .

Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Если - непрерывно дифференцируемое отображение отрезка в отрезок такое, что , то при любой непрерывной на функции справедливо равенство

.

Доказательство. Пусть - первообразная функции , тогда по теореме о дифференцировании сложной функции, функция будет первообразной для функции . По формуле Ньютона-Лейбница получаем

.

Пример 4.

.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Длина плоской кривой.

Длина кривой, заданной параметрически.

Определение. Длиной кривой называется точная верхняя граница для множества периметров вписанных в кривую ломаных: . Если это число конечно, то кривая называется спрямляемой.

Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую

(функции и непрерывно дифференцируемы на ).

Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.

Формула дли вычисления длины дуги гладкой кривой, заданной параметрически:

.

Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды

.

Решение:

.

Длина кривой, заданной явно.

Теперь рассмотрим гладкуя кривую, заданную явно графиком функции , непрерывно дифференцируемой на отрезке :

.

Утверждение. Явно заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.

Формула дли вычисления длины дуги гладкой кривой, заданной явно:

.

Пример 2. Найти длину дуги кривой от до .

Решение: .

Площадь плоской фигуры.

Пусть - произвольная фигура на плоскости. Обозначим через Многоугольники, целиком содержащиеся в , а через - многоугольники, содержащие . Через и обозначим их площади. Имеем . Ограниченное сверху множество чисел имеет точную верхнюю грань , а ограниченное снизу

Множество чисел точную нижнюю грань . Очевидно, что , если же эти числа совпадают, то общее их значение называют площадью фигуры , а саму эту фигуру называют квадрируемой.