Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Укажем достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

                                                              .                                                             (1)

Теорема Пикара. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике

и удовлетворяет условию Липшица по y равномерно относительно x, т.е.  , для всех x, и .

Пусть

  ,

тогда задача Коши (1) на промежутке имеет единственное решение .

Замечание. Условие Липшица в теореме Пикара можно заменить на требование ограниченности или непрерывности  в каждом компакте из области определения дифференциального уравнения.

Решение задачи Коши при выполнении условий теоремы Пикара можно найти как предел при равномерно сходящейся последовательности функций , определяемых рекуррентным соотношением

                                              .                                     (2)

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения y(x) n- м приближением , выражается неравенством

.