Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

                Рассмотрим выражение , в котором f(t)=g(t)=s(t). В этом случае данный интеграл равен

.

Это соотношение носит название равенства Парсеваля.

Энергетический расчет полосы пропускания – выбираем , исходя из ,

 где , а .

??

Соотношение между длительностью сигнала и широтой его спектра

Чем меньше , тем шире спектр .

Для прямоугольного импульса содержит 90% энергии.

Принято

Примем начало отсчета, совмещенным с серединой импульса:

При

Если нормировано так, что Э=1, то

При этом ,

т.е.

Для гауссовского импульса

,

Используя условие нормировки ,

Получим , .

Т.е. Гауссов импульс обладает наименьшей величиной произведений

Сжатие импульса во времени для повышения точности измерений момента его сопровождается расширением спектра импульса, что требует расширения полосы пропускания измерительного устройства.

Сжатие спектра импульса для повышения точности измерений частоты ведет к расширению сигнала во времени, что требует увеличения времени наблюдений. Невозможность концентрации сигнала в узкой полосе частот и коротким интервалом времени - проявление принципа неограниченности.

- определяет относительную долю энергии сигнала в полосе частот

Для треугольного импульса

Для Гауссовского имульса

Где - интервал вероятности

Произведение при заданной максимально для прямоугольного импульса и минимально для гауссово импульса.

При

Вид импульса	прямоугольный	треугольный	Гауссов
	1,8	0,94	0.48

Для сокращения прямоугольной формы входного импульса необходимо

??

Скорость убывания спектра вне основной полосы

-единичная функция, имеющая неубывающую спектральную плотность на всей оси частот

Сигнал, спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом и содержит в своем составе дельта-функцию (или мощный короткий импульс).

-единичная функция, имеющая , т.е. убывание хвоста спектра сигнала по закону говорит о наличие в скачков, т.е. разрывов непрерывности. В точках разрыва , поэтому убывание спектра по закону указывает на наличие дельта функции в составе .

То же следует для производных высших порядков.

Примеры:

сигнал с разрывом сигнал с изломом сигнал без разрыва и излома

Если , при , а при , то

, ,

,

Отсюда , , а при , что объясняется наличием функции в первой производной сигнала .

Если , то при

при

не содержит дельта-функции, но терпит в точке разрыв отличающийся масштабом и наличием функции - .

,

, при .

, отсюда

, а при , т.е. разрыв первой производной, приводит к убыванию спектра по закону .

Обобщая данный результат, получим, что вне основной полосы спектр убывает по закону , где n-порядок производной при которой возникает первый разрыв. Поэтому гауссов сигнал, произведение которого непрерывно для всех значений n до , должен иметь спектр, скорость которого максимально возможна, что идентично выводу о минимальности произведения для этого сигнала.

Периодическая импульсация спектра вне основной полосы частот, возникает в результате интерференции спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени.

34