Свойства преобразования Фурье

 Сдвиг сигнала во времени

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы обладает спектральной плотностью S₁(W). При задержке этого сигнала на время t₀ получим новую функцию времени s₂(t)=s₁(t-t₀). Спектральная плотность сигнала s₂(t)

.

               Введем новую переменную . Отсюда

.

Сдвиг сигнала по оси времени приводит к изменению фазы спектральная плотность, а модуль не зависит от положения сигнала на оси времени.

Изменение масштаба времени

Пусть сигнал s₁(t) подвергается сжатию во времени. Новый сигнал s₂(t) связан с исходным соотношением где .

Длительность импульса s₂(t) в n раз меньше, чем исходного. Спектральная плотность сжатого импульса

.

Введем новую переменную . Получим

.

При сжатии сигнала в n раз во столько же раз расширяется его спектр. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз. При растяжении сигнала во времени имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Смещение спектра колебаний

Домножим сигнал s(t) на гармонический сигнал cos(w₀t+q₀). Спектр такого сигнала

Разобьем его на 2 интеграла

.

Полученное соотношение можно записать в следующей форме

Таким образом, умножение функции s(t) на гармоническое колебание приводит к расщеплению спектра на 2 части, смещенные на ±w₀.

Дифференцирование и интегрирование сигнала

Пусть дан сигнал s₁(t) со спектральной плотностью S₁(W). Дифференцирование этого сигнала  дает соотношение

.

Интегрирование сигнала  приводит к выражению

.

Сложение сигналов

При сложении сигналов s₁(t) и s₂(t) обладающих спектрами S₁(W) и S₂(W) суммарному сигналу s₁(t)+s₂(t) соответствует спектр S₁(W)+S₂(W) (т. к. преобразование Фурье является линейной операцией).

Произведение двух сигналов

Пусть S(t) представлен произведением двух сигналов: . Такому сигналу соответствует спектр

Представим функции в виде интегралов Фурье

, .

Где спектральная плотность сигналов f(t) b g(t) соответственно.

Подставляя второй интеграл в выражение для S(W) получим

Следовательно

.

Т. е. спектр произведения двух функций времени равен свертке их спектров (с коэффициентом 1/2p).

Если , то спектр сигнала будет .

Взаимная обратимость частоты и времени в преобразовании Фурье

1.    Пусть s(t) — четная функция относительно времени.

Тогда . То есть функция является вещественной и четной относительно W.

2. Пусть s(t) — нечетная функция относительно времени. При этом:

.

В этом случае S(W) является нечетной и чисто линейной.

3.  Пусть , где s₁(t) и s₂(t) – четная и нечетная функции соответственно. При этом

,

4. Предположим, что s(t) — четная функция. Запишем s(t) в виде

  . Произведем замену W на t и t на W, учтем, что S(t) – в данном случае вещественная функция, получим:

.

Таким образом, если сигнал, совпадает по форме с нашим исходным, то его спектр повторяет форму исходного сигнала.

«13» 15-22