Примеры спектров периодических сигналов

1. Последовательность прямоугольных импульсов.

Здесь .

, где -скважность

, так как функция s(t) – четная, .

.

Спектр имеет вид:

При , то есть (радиолокационный сигнал) и .

2.   Прямоугольное колебание. Подобное колебание, часто называемое меандром (Меандр — греческое слово, обозначающее “орнамент”), находит особенно широкое применение в измерительной технике. Здесь , .

Спектр меандра

3. Последовательность пилообразных импульсов.

.

Функция s(t) – нечетная, поэтому разложение в ряд Фурье содержит только синусоидальные составляющие.

4. Последовательность треугольных импульсов.

.

Данная функция содержит только косинусоидальные члены в силу четности функции. Амплитуды гармоник с ростом n убывают быстрее, чем в предыдущих случаях, так как высокочастотные составляющие для образования сигнала не нужны.

Спектр последовательности треугольных импульсов

При сумма ряда приближается к всюду, кроме точек разрыва функции, где образуются выбросы.

При величина этого выброса равна 1,18E. Этот дефект сходимости (18%) носит название явления Гиббса. Но ряд сходится в среднем, то есть выбросы бесконечно узкие и не вносят ощутимого вклада в усреднение.

.

10

Распределение мощности в спектре периодического сигнала.

.

.

Если – ток, то мощность, выделяемая на сопротивлении R.

.

. Средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник.

11

Гармонический анализ непериодических сигналов

 Пусть сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t₁,t₂). Этот сигнал должен быть интегрируем на интервале (t₁,t₂).

Возьмем бесконечный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток (t₁,t₂). Тогда сигнал S(t) является, как бы периодическим с периодом T→ ∞, а .

Заданный сигнал можно представить в виде ряда Фурье, где

На основании этого получим:

Поскольку Т®µ, то сумму можно заменить интегралом, а W₁ на dW и nW₁ на W. Таким образом, мы прейдем к двойному интегралу Фурье:

,

Где — спектральная плотность сигнала. Когда интервал (t₁,t₂) не уточнен, интеграл имеет бесконечные пределы.

Это есть обратное и прямое преобразование Фурье, соответственно.

Спектр непериодического сигнала является сплошным

Если сравнить выражения для огибающей сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодического сигнала и огибающей линейчатого спектра периодического сигнала, совпадающего на интервале (t₁,t₂) с непериодическим сигналом, то будет видно, что они совпадают по форме.

Учитывая, что , получим:

,

 но отличаются масштабами .

Следовательно, спектральная плотность обладает всеми основными свойствами комплексного ряда Фурье. Т. е. можно записать

,

где , ,

спектральная плотность:

Модуль спектральной плотности   является четной функцией и его можно рассматривать как амплитудно-частотную характеристику сигнала. Аргумент   — нечетная функция, рассматриваемая как фазо-частотная характеристика сигнала.

На основании этого сигнал можно выразить следующим образом

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом случая является четной, а во втором — нечетной относительно W. Следовательно, второй интеграл равен нулю (нечетная функция в симметричных пределах) и окончательно

.

Отметим, что при W=0 выражение для спектральной плотности равно площади под кривой s(t)

,

то есть имеет значение, равное площади сигнала.

12