§ 5.3.2. Закон распределения Пуассона

Закон распределения Пуассона — закон распределения дискретной случайной величины X, представляющей собой число m наступлений события А в заданном промежутке времени или пространства при заданной интенсивности .

В отличие от биномиального с параметрами n (число независимых испытаний) и р (вероятность наступления события А в каждом испытании), закон распределения Пуассона определяется интенсивностью наступления события А: .

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, может принимать все неотрицательные целые значения: 0, 1,2, ..., n, ...

Исходя из формулы вычисления вероятности возможных значений случайной величины, распределенной в соответствии с биномиальным законом, получим:

откуда .

• Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3,..., m,..., n,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона:

где – параметр распределения Пуассона.

Так как вероятность наступления события А в каждом испытании мала, закон распределения Пуассона еще называют законом редких событий.

Найдем числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

По определению (1.36) математическое ожидание дискретной случайной величины равно:

В соответствии с упрощенной формулой вычисления (1.32), дисперсия равна:

.

Тогда

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром , равны:

Пример 5.7. В приемное время врача-педиатра посещает в среднем 7 человек в час. Составить закон распределения числа пациентов, посетивших педиатра в течение часа.

Решение.

Случайная величина X – число пациентов, посетивших педиатра в течение часа. Таким образом, оценивается число т наступлений события А (пациент пришел к врачу) в течение часа при заданной интенсивности (среднее число посетителей в час определяется в соответствии с формулой: , что и было задано в условии задачи).

Следовательно, случайная величина X подчиняется закону распределения Пуассона с параметром .

X может принимать числовые значения: с вероятностями , равными:

Вероятности можно определить и с помощью табл. 8 Приложений для заданного параметра и соответствующих значений m.

Таким образом, случайная величина Х – число пациентов, посетивших педиатра в течение часа, имеет вид:

Глава 6. Непрерывная случайная величина

Другой тип случайных величин, кардинально отличающийся от дискретных, — непрерывные случайные величины.

• Непрерывная случайная величина — это случайная величина, бесконечное и несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) и она сплошь заполняет этот интервал.

Следовательно, закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать рядом распределения. Для этого используются интегральная и дифференциальная функции распределения.