Глава 4. Повторные независимые испытания

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Под испытанием понимается осуществление определенного комплекса условий, в результате которых может произойти (или нет) то или иное событие пространства элементарных событий.

• Повторные независимые испытания — многократные испытания, в которых вероятность появления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний. Впервые схема независимых испытаний была рассмотрена Я. Бернулли¹ для важнейшего частного случая k=2.

• Под схемой Бернулли понимают проведение серии в n испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: либо наступит событие А, либо не наступит, т. е. произойдет противоположное ему и при этом:

1. все п испытаний независимы;

1. вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию:

П ример. К случайным событиям, удовлетворяющим условиям схемы Бернулли, относятся: многократное подбрасывание монеты (событие А – например, выпадение «орла»), многократная стрельба по мишени (событие А – например, попадание в мишень) и т. п.

§ 4.1. Формула Бернулли

В случае небольшого числа испытаний n вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется в соответствии с формулой Бернулли:

(1.24)

где n – число испытаний Бернулли;

m – число испытаний, в которых наступило событие А;

q=1-p – вероятность противоположного события ;

– число сочетаний из n элементов по m (1.6).

Д оказательство.

Обозначим через появление события А в i-м испытании. Вероятность того, что А, наступают при определенных m испытаниях (например, с номерами ), а при остальных n-m не наступает, равна:

.

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий (1.13), искомая вероятность равна сумме вероятностей полученного значения для всех возможных способов m появлений события А в n испытаниях. В соответствии с правилами комбинаторики, число таких способов определяется числом сочетаний из n по m (1.6):

.

Пример 4.1. После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными:

а) 10,

б) больше половины.

Решение.

Проводится 12 независимых испытаний, состоящих в проверке годности аккумулятора. Для каждого из 12 аккумуляторов вероятность события А – аккумулятор после года хранения годный – по условию постоянна и равна:

А. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов ровно 10 будут годными, т. е. вероятность . Поскольку испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то эту вероятность можно определить по формуле Бернулли (1.24):

Б. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов более 12/2=6 будут годными, т. е. вероятность . При этом по теореме сложения для несовместных событий (1.13):

,

так как события не совместны.

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то вероятности можно определить по формуле Бернулли (1.24):

При вычислении вероятностей в условиях большого числа испытаний n можно столкнуться со значительными вычислительными трудностями. В связи с этим возникла необходимость в построении асимптотических (приближенных) формул, позволяющих с достаточной степенью точности определить . Одними из них являются теоремы Муавра – Лапласа²