§ 4.4. Теоремы Пуассона3

При большом числе испытаний , постоянной малой вероятности наступления события А в каждом испытании , и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется соответствии с теоремой Пуассона:

(1.31)

где n — число испытаний Бернулли;

m — число испытаний, в которых наступило событие А;

— параметр Пуассоновского распределения, называемый еще средней интенсивностью.

Теорему можно доказать путем замены в формуле Бернулли вероятности р на вычисления ее предела при /

Значения функции Пуассона также могут быть определены по табл. 8 Приложения для заданных значений m и .

С лучайные события, к которым может быть применена теорема Пуассона, называют еще редкими событиями ввиду малой вероятности наступления события А в каждом испытании.

Пример 4.4. Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002. Определить вероятность того, что из выпущенных 500 отливок количество бракованных составит:

а) 2;

б) более двух.

Решение.

Проводится 500 независимых испытаний, состоящих в проверке брака отливки. Для каждой из 500 отливок вероятность события А – отливка бракованная - по условию постоянна и равна:

В задаче число испытаний велико n=500, р=0,002 – мала, параметр Пуассона

А. Требуется определить вероятность того, что из 500 отливок ровно 2 будут бракованными, т. е. вероятность

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n>>100, р – мала, то эту вероятность можно определить по формуле Пуассона (1.31):

(вероятность можно определить и по табл. 8 Приложений значений функции Пуассона для и m=2).

Б. Требуется определить вероятность того, что из 500 отливок более 2 будут бракованные, т. е. вероятность

При этом по теореме сложения для несовместных событий (1.13):

так как события несовместны. В данном случае целесообразно перейти к противоположному событию (что будет не больше 2 бракованных отливок, ), и воспользоваться следствием (1.15):

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n>>100, р – мала, , то вероятности можно определить по формуле Пуассона (1.31):

Раздел 2 случайные величины

• Дискретная случайная величина

• Непрерывная случайная величина

• Нормальный закон распределения

• Предельные теоремы теории вероятностей

Одним из основных понятий теории вероятностей является, наряду со случайным событием, понятие случайной величины.

• Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, причем заранее не известно, какое именно, так как оно зависит от случая.

Связь случайной величины и случайного события заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения из набора возможных (т. е. выполнение равенства )⁴ есть случайное событие, характеризующееся вероятностью .

Примеры случайных величин:

• число очков, выпавших на верхней грани игрального кубика;

• число студентов, пришедших на лекцию;

• расстояние от центра мишени до точки попадания при выстреле;

• сумма выплаты по очередному страховому случаю и т. п.

Для определения случайной величины необходимо задать ее закон распределения.

• Закон распределения — соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти значения.

Для практического применения не всегда необходимо иметь полное представление о случайной величине, достаточно знать некоторые ее числовые характеристики, дающие суммарное представление о случайной величине, к которым, прежде всего, относятся математическое ожидание и дисперсия.

• Математическое ожидание М(Х) — это число, характеризующее среднее значение случайной величины X.

Свойства математического ожидания:

• математическое ожидание постоянной величины С=const равно этой величине:

М(С)=С;

• математическое ожидание произведения постоянной величины С=const и случайной величины X равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной величины (константу можно вынести за знак математического ожидания):

М(С*Х)=С*М(Х);

• математическое ожидание алгебраической суммы п случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих случайных величин:

• математическое ожидание произведения n независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин:

• математическое ожидание алгебраической суммы случайной величины X и постоянной величины С=const равно алгебраической сумме этой константы и математического ожидания случайной величины:

в частности,

• математическое ожидание среднего арифметического значения n одинаково распределенных (имеющих одинаковые законы распределения) взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию этих величин:

• Дисперсия характеризует разброс или рассеяние значений случайной величины около ее математического ожидания.

• Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

• дисперсия постоянной величины C=const равна нулю:

• дисперсия произведения постоянной величины С=const и случайной величины X равна произведению квадрата этой константы на дисперсию случайной величины (константу можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат):

• дисперсия алгебраической суммы или разности n независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин:

• дисперсия алгебраической суммы случайной величины Х и постоянной величины С=const равна дисперсии случайной величины:

в частности,

• дисперсии суммы и среднего арифметического значения n одинаково распределенных (имеющих одинаковые законы распределения) взаимно независимых случайных величин , дисперсия каждой из которых равна , равны и соответственно:

• Формула упрощенного вычисления дисперсии имеет вид:

(1.32)

Действительно,

В зависимости от характера области возможных значений выделяют два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.