§ 5.3. Основные законы распределения случайных величин

Решение задач по определению параметров закона распределения и характеристик случайной величины может быть упрощено, если удается показать, что случайная величина подчиняется известному закону распределения.

§ 5.3.1. Биномиальный закон распределения

Биномиальный закон распределения — закон распределения дискретной случайной величины X, представляющей собой число m наступлений события А в серии n независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью р.

По условию вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и испытания независимы. Поэтому вероятность того, что событие А наступит в п испытаниях ровно m раз, рассчитывается по формуле Бернулли (1.24):

/

• Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3,..., m, ..., n с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

где q=1-p;

– число сочетаний из n элементов по m (1.6).

Для определения математического ожидания и дисперсии случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, удобнее использовать не непосредственно определения этих характеристик, а их свойства.

Случайная величина X может быть представлена в виде суммы n независимых случайных величин (представляющих собой число наступлений события в i-м испытании), каждая из которых имеет один и тот же закон распределения:

Следовательно,

Учитывая, что случайные величины независимы, согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получим:

;

.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения, равны:

, .

П ример 5.6. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают предусмотренный правилами скоростной режим. Составить закон распределения числа водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Случайная величина Х – число водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости из пяти проехавших. Таким образом, проводится 5 независимых (водители соблюдают или нарушают правила независимо друг от друга) испытаний, состоящих в проверке соблюдения предусмотренного правилами скоростного режима. При этом для каждого из 5 водителей вероятность события А – скоростной режим не нарушен – по условию постоянна и равна:

Следовательно, случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами n=5, р=0,6, q=0,4.

X может принимать числовые значения: с вероятностями , равными:

Значит, закон распределения числа водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших имеет вид:

Правильность составления закона подтверждается равенством:

Так как случайная величина Х – число водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших имеет биномиальное распределение, то его числовые характеристики могут быть найдены в соответствии с формулами: