Метод наложения
В основе метода наложения лежит принцип наложения, согласно которому исходная цепь представляется совокупностью подсхем (по числу источников). В каждой подсхеме оставляют только один из источников, замыкая накоротко зажимы всех остальных источников ЭДС и размыкая ветви с источниками тока. Рис. 2.7 иллюстрирует сказанное.
Рис. 2.7
Искомый ток находится алгебраическим суммированием токов подсхем:
.
Метод наложения прост и нагляден, однако применим к расчету цепей с малым числом источников. Расчет подсхем производят, как правило, преобразованием, определяя эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника и используя затем закон Ома. Основные преобразования приведены в табл. 2.1 и на рис. 2.8.
Рис. 2.8
Взаимное соответствие сопротивлений звезды и треугольника устанавливается по уравнениям (2.1):
;
;
;
;
(2.1)
;
.
ПРИМЕР
2.6. В цепи гармонического тока по рис.
2.9, а с известными сопротивлениями
кОм;
кОм и источниками ЭДС
В и тока
мА
определить комплексное действующее
значение тока
методом наложения.
б в
Рис. 2.9
РЕШЕНИЕ.
Согласно принципу наложения,
искомый ток представляем суммой частичных
токов от каждого из источников, действующих
независимо друг от друга. Иными словами,
расчет токов ветвей произведем по
частным схемам (подсхемам),
в каждой из которых действует только
один независимый источник. Для заданной
схемы имеем две подсхемы
(рис. 2.9, б,
в), поэтому:
.
В подсхеме по рис. 2.9, б:
А.
Ветвь с источником тока в этой схеме разомкнута, поскольку внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико.
В подсхеме по рис. 2.9, в сопротивление Z1 замкнуто накоротко, поскольку внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю. Искомый ток IJ найдем по правилу п а р а л л е л ь н ы х ветвей (разброса):
.
Подставляя численные значения, имеем:
А.
И, наконец, искомый ток
А.
ЗАМЕЧАНИЕ. Правильность расчета контролируется подсчетом баланса мощностей - равенства мощностей, выработанных источниками энергии, и мощностей, потребленных элементами цепи (нагрузкой):
,
где
;
,
-
сопряженное комплексное значение тока
через i источник;
Р - активная мощность цепи;
Q - реактивная.
Метод контурных токов
Максвелл предложил при расчете цепей в качестве независимых переменных принимать токи, названные контурными, замыкающиеся по главным контурам (см. рис. 2.10). Поскольку каждый такой ток, проходя узел, втекает в него и вытекает, необходимость записывать уравнения по первому закону Кирхгофа отпадает. Ток ветвей, по которым проходит только один контурный ток, равен соответствующему контурному току. Токи смежных ветвей, по которым замыкается несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме.
Рис. 2.10
Для каждого независимого контура, исключая контуры с источниками тока, по второму закону Кирхгофа записывают уравнения в форме:
(2.2)
Здесь k - номер рассматриваемого контура;
i - нумерация контуров с контурными токами Ji (i = 1, 2, .... , n);
j - нумерация вспомогательных контуров, содержащих ветви с ис-
точниками тока Jj;
-
сопротивления, входящие в k - и i - контуры,
названные
сопротивлениями связи. Если контурные токи по
сопротивлению связи проходят в противоположных
направлениях, оно считается отрицательным;
-
собственное контурное сопротивление,
равное сумме
сопротивлений k – контура;
-
алгебраическая сумма ЭДС в k - контуре,
названная кон-
турной ЭДС;
-
напряжения, вызванные токами
источников тока на
сопротивлениях
связи
.
ЭДС, входящие в контур k, берутся со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением контурного тока Jk, и со знаком минус - в противном случае. Произведение берется со знаком плюс, если контурный ток и ток источника противоположны.
Для контурного тока J1 по рис. 2.10 согласно (2.2), следует записать:
.
Если один из контурных токов был бы током источника тока, его следовало бы записать в правой части уравнения.
Правила записи контурных уравнений
Ток рассматриваемого контура умножается на собственное контурное сопротивление.
К данному произведению дописываются произведения всех других контурных токов на сопротивления связи с учетом знака сопротивлений связи.
В правой части записывают контурную ЭДС и напряжения, вызванные токами источников тока.
ПРИМЕР 2.7. В цепи по рис. 2.11 с известными сопротивлениями R1 = R3 = R4 = R5 = 1 Ом и R2 = 2 Ом и постоянными во времени источниками ЭДС E1 = 10 В, Е2 = 4 В и тока J = 2 A определить токи ветвей I1, I2, I3 методом контурных токов.
Рис. 2.11
РЕШЕНИЕ. За неизвестные в методе контурных токов принимают токи, замыкающиеся по главным (независимым) контурам.
Для заданной схемы их три, причем один из токов - ток источника тока J - известен. Для токов J1, J2 составляем уравнения согласно (2.2):
;
.
Подставляя числовые значения, имеем:
;
.
Решая относительно J1 и J2, находим: J1 = 5 A, J2 = - 4 A.
Токи в ветвях: I1 = J1 = 5 A, I2 = - J1 - J2 = - 5 + 4 = -1 A,
I3 = - J2 = 4 A.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Если контурные токи (планарных схем) замыкать по ячейкам с одинаковым направлением, то сопротивления связи будут отрицательными.
2. Не рекомендуется по ветви с источником тока замыкать другие контурные токи.
3. Определитель системы уравнений для цепи без управляемых источников при любых выбранных направлениях симметричен относительно главной диагонали. Это доказывает теорему взаимности, согласно которой при изменении направления передачи сигнала (перестановкой источника из одной ветви в другую) новый выходной сигнал получается равным прежнему. Цепи, удовлетворяющие теореме взаимности, называют обратимыми.
ПРИМЕР 2.8. Рассчитать токи ветвей схемы по рис. 2.12, а, полагая параметры элементов и коэффициенты управления k, заданными.
а б
Рис. 2.12
РЕШЕНИЕ. 1. Строим дерево графа, дополняем его хордами и определяем по ним главные контуры и положительные направления их обхода (рис. 2.12, б).
2.
Записываем систему контурных уравнений
для неизвестных контурных токов
и
(ток
полагаем известным):
;
.
Управляющие величины зависимых источников энергии выражаем через искомые контурные токи и подставляем в контурные уравнения:
;
.
Группируем слагаемые с контурными токами и получаем:
;
.
Токи ветвей выражаем через контурные токи:
;
;
;
;
.