1.7. Общие свойства решений уравнений цепи
Как следует из примера 1.4, уравнения цепи представляют собой систему интегро-дифференциальных уравнений. При этом неизвестные токи – искомые реакции, их производные и интегралы входят в эти уравнения в первой степени. Это означает, что уравнения в системе – линейные.
Линейные дифференциальные уравнения обладают следующими свойствами:
Умножение или деление правой и левой частей уравнения на любой множитель не изменяет равенства.
Это означает, что изменение входного воздействия в k раз приводит к изменению реакции цепи в k раз, и наоборот. Это свойство позволяет в расчете линейной цепи вводить удобный масштаб для тока, напряжения и сопротивления.
Равенство не нарушается, если левую и правую части уравнения продифференцировать или проинтегрировать. Это свойство позволяет для упрощения решения входное воздействие (например, линейно-возрастающее) заменить его производной (постоянным) или интегралом. Затем полученный результат следует соответственно проинтегрировать или продифференцировать.
Сумма решений
дифференциального
уравнения для различных правых частей
,
является решением этого уравнения с
правой частью:
.
Согласно этому свойству (теорема
наложения), реакция цепи на действие
нескольких источников равна сумме
реакции на действие каждого из отдельно
взятых источников. Это один из
основополагающих принципов теории
линейных цепей, известный как принцип
(теорема) наложения.
Два важнейших следствия теоремы наложения в терминах теории цепей:
1)
Искомое решение – ток или напряжение
представляет собой совокупность двух
решений: общего решения однородного
уравнения (правая часть равна нулю) и
частного, с правой частью отличной от
нуля. Составляющую, обусловленную общим
решением, называют свободной
,
поскольку цепь свободна от внешнего
воздействия (отсутствие правой части
соответствует короткому замыканию
входных зажимов). Свободная составляющая
определяется параметрами цепи и энергией,
запасенной накопителями энергии:
конденсатором и катушкой индуктивности.
В общем виде ее решение записывается:
,
где
- корни характеристического уравнения.
С
течением времени
исчезает, поскольку
- отрицательные.
Составляющую, представляющую собой частное решение называют принужденной или вынужденной. Вид ее определяется видом правой части уравнения, т. е. действующим на входе цепи источником – вынуждающей силы.
Определение частного решения в случае произвольной вынуждающей силы – сложная задача, которая будет рассмотрена в следующем разделе.
2) Действующий на входе цепи сигнал произвольной формы можно представить для упрощения анализа суммой элементарных составляющих.
Эти составляющие могут быть постоянными, синусоидальными, экспоненциальными или иной формы.
Если рассматриваются цепи с произвольными периодическими воздействиями, то в качестве элементарных составляющих следует выбирать синусоидальные, поскольку периодические функции легко раскладываются в тригонометрический ряд Фурье. При этом постоянная составляющая ряда Фурье может рассматриваться как синусоидальная составляющая нулевой частоты. Именно поэтому в следующем разделе изложение методов анализа ведется для цепей с сигналами гармонической (синусоидальной) формы.