Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов

1. Производят разметку схемы, обозначая узлы и токи ветвей.

2. Выбирают базисный (опорный) узел, принимая его потенциал равным нулю.

3. Составляют узловые уравнения для всех узлов, кроме базисного.

4. При наличии зависимых источников выражают их управляющие величины через искомые узловые потенциалы с помощью компонентных уравнений и учитывают их в узловых уравнениях.

5. После группировки коэффициентов при неизвестных решают уравнения относительно узловых потенциалов.

6. Определяют токи ветвей.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. В качестве базисного целесообразно выбирать узел с наибольшим числом ветвей.

2. Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС, внутренние сопротивления которых принимаются равными нулю, их исключают путем переноса ЭДС через узел в другие ветви с сопротивлениями, как показано на рис. 2.15.

Рис. 2.15

3. При наличии ветви с идеальным источником ЭДС или группы ветвей, но имеющих общий узел, один из узлов подсоединения ветви или общий, если ветвей несколько, принимается в качестве базисного.

4. Если цепь имеет всего два узла, составляется одно уравнение (метод двух узлов):

.

Данная формула часто используется для эквивалентного преобразования группы параллельных ветвей в одну эквивалентную с ЭДС и сопротивлением .

5. Управляющие токи и ЭДС зависимых источников в системе узловых уравнений можно не преобразовывать, а рассматривать их в качестве дополнительных неизвестных. Компонентные уравнения, связывающие дополнительные неизвестные с узловыми потенциалами, включаются в исходную систему и образуют систему р а с ш и р е н н ы х узловых уравнений.

2. Метод эквивалентного источника

Метод основан на применении теоремы об эквивалентном источнике и используется при определении тока (напряжения) только в одной ветви сложной цепи. По отношению к выделенной ветви всю оставшуюся часть цепи можно рассматривать как активный двухполюсник.

Согласно теореме Тевенена, активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным источником ЭДС и внутренним сопротивлением, как показано на рис. 2.16, б.

а б в

Рис. 2.16

Эдс ег определяется напряжением на зажимах ab при размыкании ветви (режим холостого хода):

,

а внутреннее сопротивление - входным сопротивлением пассивной цепи относительно тех же зажимов: .

Эквивалентный переход от источника ЭДС к источнику тока показан на рис. 2.16, в.

Согласно схемам по рис. 2.16, б и в, имеем:

и . (2.4)

ПРИМЕР 2.11. В цепи по рис. 2.17, а с параметрами R = X_C = X_L =

= 1 Ом и источниками гармонических сигналов

e₁(t) = В; е₂(t) = В и

J(t) = , А определить ток в ветви с индуктивным элементом.

РЕШЕНИЕ. Относительно ветви с искомым током заданную цепь представим эквивалентным источником с ЭДС Е_Г и внутренним сопротивлением Z_Г (рис. 2.17, б).

а б

Рис. 2.17

В исходной схеме мысленно разомкнем ветвь ab и определим ЭДС источника, равную напряжению холостого хода. Для данной схемы эффективен метод двух узлов:

.

Или численно:

В.

Замкнув накоротко источники ЭДС е₁(t) и e₂(t) и разомкнув источник тока, определим внутреннее сопротивление эквивалентного источника:

Согласно (2.4), искомый ток в комплексной форме:

А.

Во временной области: А.

ЗАМЕЧАНИЕ. Метод может быть использован при расчете цепей с зависимыми источниками, если выделенная ветвь не содержит зависимых источников, а ее ток и напряжение не являются управляющими величинами. Внутреннее сопротивление при этом определяют из режимов холостого хода и короткого замыкания:

.