1.5. Граф цепи. Топологические матрицы

Из (1.2), (1.6) и (1.7) следует, что взаимосвязи между напряжениями (токами) отдельных элементов (ветвей) определяются не характером элементов, а способом их соединения или, как говорят, их топологией (геометрией).

Для составления указанного вида уравнений, отображающих структуру цепи, достаточно изобразить упрощенную схему цепи в виде ее узлов и ветвей – простых линий, соединяющих эти узлы без указания элементов. Такое изображение называют г р а ф о м. На рис. 1.8, а и б представлены графы цепей, соответствующие схемам рис. 1.7, а и б. Форма линий при этом никакого значения не имеет.

а б

Рис. 1.8

Если на ветвях графа изображены стрелки, указывающие направления токов ветвей, граф называют направленным. В противном случае граф – ненаправленный.

При описании графов цепей используются те же понятия: узел, ветвь, контур, а также: дерево графа, хорда, сечение. При этом в теории графов ветвью часто считается каждый отдельно взятый элемент, так что узел – место соединения двух и более ветвей. Положительным направлением ветвей считается направление от узла.

Д е р е в о г р а ф а – часть графа, включающая все узлы графа, не имеющая ни одного контура. На рис. 1.8, а дерево образовано одной ветвью, а на рис. 1.8, б – тремя, показанными сплошными линиями. Очевидно, что дерево графа содержит q – 1 ветвь, где q – число узлов. При этом любой граф содержит несколько деревьев.

Х о р д ы или в е т в и с в я з и – ветви, не вошедшие в выбранное дерево. На рис. 1.8 – это пунктирные линии.

С е ч е н и е г р а ф а – набор ветвей, удаление которых делит граф (схему) на две изолированные части (подграфы). Для анализа цепей значение имеют не все сечения и не все контуры, а только главные.

Г л а в н о е с е ч е н и е – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. На рис. 1.8 главное сечение показано замкнутыми линиями со стрелками, указывающими положительное направление сечения, совпадающее с направлением ветви дерева. Число главных сечений равно число ветвей дерева, т. е. (q – 1).

Г л а в н ы м называют контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи (хорды). Направление контура определяется направлением входящей в него хорды. Число главных контуров равно числу хорд, причем сумма главных контуров и главных сечений равна числу ветвей графа. На рис. 1.8, б главные контуры обозначены цифрами 1 , 2 , 3 .

Топологические свойства графа (его структура) могут быть записаны аналитически с помощью матриц: узловой (А), контурной (В) и сечений (Q).

Узловая матрица (иногда ее называют матрицей соединений) описывает соединение ветвей по отношению к узлам, контурная – по отношению к главным контурам, а сечений – по отношению к главным сечениям.

Матрицы представляют собой таблицы с числом столбцов, равным числу ветвей, и числом строк, равным числу узлов без единицы, числу главных контуров и числу главных сечений соответственно для узловой, контурной и сечений.

Коэффициенты матрицы равны +1, если ветвь принадлежит данному узлу, контуру или сечению, причем направление ветви совпадает с положительным направлением по отношению к узлу, контуру и сечению. В противном случае коэффициент матрицы равен –1. Если ветвь не принадлежит узлу, контуру или сечению, коэффициенты матриц – нулевые.

Для графа по рис. 1.8, б узловая матрица:

Узел, для которого строка матрицы не заполняется, называют базисным. Его выбирают произвольно. В данном примере за базисный узел принят узел d.

Матрицы контуров и сечений для этого же графа, имеют вид:

; .

П РИМЕР 1.3. По заданной контурной матрице (В) нарисовать граф цепи.

РЕШЕНИЕ. Обратим внимание, что ветвь 2 является общей для контуров 1 и 2; ветвь 3 – для контуров 1 и 3; ветвь 5 – для контуров 2 и 3. Изобразив эти ветви, как показано на рис. 1.9, и дополнив образованное дерево (подграф) ветвями связи согласно заданной матрице, получаем соответствующий граф.