2. Методы узловых потенциалов и контурных токов в матричной форме

Матричные методы узловых потенциалов и контурных токов ориентированы на расчет сложных схем с использованием вычислительной техники. При записи уравнений пользуются понятием обобщенной ветви, показанной на рис. 2.18.

Рис. 2.18

Параметры обобщенных ветвей записывают в матричной форме:

; ; ; .

Элементы матрицы всегда положительные, а элементы матриц (I), (E) и (J) имеют положительные знаки, если источники направлены согласно рис. 2.18.

Напряжения и токи ветвей удовлетворяют обобщенному закону Ома (компонентным уравнениям):

(2.5)

или . (2.5 а)

Если (2.5) подставить в (1.8) и заменить (Z) на ,

где (Y) - диагональная матрица проводимостей обобщенных ветвей, то получим уравнение, связывающее напряжения ветвей с параметрами источников:

.

Заменив напряжения ветвей через узловые потенциалы

(U)=(A)^T ,

где (А)^Т - транспонированная узловая матрица, получим:

. (2.6)

Уравнение (2.6) - матрично-топологическая форма уравнений узловых потенциалов.

Для определения токов обобщенных ветвей используют закон Ома (2.5), где напряжения выражены через потенциалы узлов:

. (2.6 а)

Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов в матричной форме

1. Пронумеровать узлы и ветви электрической цепи, изобразить ее граф, указать направления ветвей.

2. Выбрать базисный узел и записать узловую матрицу (А).

3. Записать матрицы проводимостей и источников обобщенных ветвей.

4. Используя программу Матрично-топологический метод из пакета программ Теоретическая электротехника каф. ТОЭ ТПУ, рассчитать узловые потенциалы или токи ветвей.

Чтобы получить уравнения контурных токов в матричной форме, достаточно (2.5, а) подставить в (1.10) и применить контурное преобразование

, (2.7)

где (В)^Т - транспонированная контурная матрица,

(I^k) - матрица контурных токов.

После подстановки получаем:

- (2.8)

алгоритм записи уравнений контурных токов в матричной форме.

Порядок расчета цепи методом контурных токов в матричной форме

1. Изобразить граф цепи, выбрать дерево графа и по хордам определить (наметить) главные контуры.

2. Записать контурную матрицу (В).

3. Записать диагональную матрицу сопротивлений ветвей и параметров источников (E), (J).

4. По программе Матрично-топологический метод пакета программ Теоретическая электротехника рассчитать искомые контурные токи или токи обобщенных ветвей.

ПРИМЕР 2.12. Для цепи по рис. 2.19, а с известными сопротивлениями R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆ и постоянными во времени источниками ЭДС Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅ и тока J₁, J₄ записать узловую матрицу (А) и матрицы параметров ветвей для расчета методом узловых потенциалов.

а б

Рис. 2.19

РЕШЕНИЕ. Изображаем граф цепи согласно нумерации ее ветвей, узлов и направлений токов (рис. 2.19, б). В качестве базисного узла принимаем узел 4.

Тогда узловая матрица

.

Матрицы параметров ветвей:

(G) = diag(G₁ G₂ G₃ G₄ G₅ G₆), где G_i = 1/R_i (i = 1, 2, ... , 6);

5. = (E₁ -E₂ E₃ -E₄ 0 0 )^T - вектор ЭДС источников;

(J) = (-J₁ 0 0 0 0 -J₆)^T - вектор источников тока;

() = (₁ ₂ ₃)^T - вектор потенциалов узлов;

1. = (I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆)^T - вектор токов обобщенных ветвей.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если цепь имеет ветвь, состоящую только из идеального источника тока, эту ветвь преобразовывают, как показано на рис. 2.20.

Рис. 2.20

ПРИМЕР 2.13. Записать уравнения контурных токов в матричной форме для схемы по рис. 2.19, а. Параметры элементов полагать заданными.

РЕШЕНИЕ. Если в качестве дерева графа выбрать ветви 4, 5, 6 (сплошные линии на рис. 2.19, б), тогда хорды (ветви связи) 1, 2, 3 однозначно определят главные контуры.

Контурная матрица (номера контуров соответствуют номерам хорд, показанных на рис. 2.19, б пунктирными линиями):

.

Матрицы параметров ветвей:

= diag (R₁ R₂ R₃ R₄ R₅ R₆) - диагональная матрица сопро -

тивлений;

(I^k) = ^Т - вектор контурных токов;

(Е), (J) - определены в примере 2.11.

Подставляя записанные матрицы в (2.8), получаем искомые уравнения: