- •А. М. Купцов
- •Основы теории цепей
- •Часть 1
- •Линейные электрические цепи
- •В ведение
- •I. Элементы и топологические свойства электрических цепей
- •Общие сведения и определения
- •Идеализированные схемные элементы электрической цепи
- •Линейные модели реальных элементов цепи
- •1.4. Схемы электрических цепей и их структура
- •1.5. Граф цепи. Топологические матрицы
- •1.6. Задачи исследования электрических цепей. Общие вопросы формирования уравнений
- •1.7. Общие свойства решений уравнений цепи
- •Основные методы расчета электричеких цепей
- •2.1. Комплексный метод
- •Метод наложения
- •Метод контурных токов
- •Порядок расчета цепи методом контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Правила записи узловых уравнений
- •Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов
- •Метод эквивалентного источника
- •Эдс ег определяется напряжением на зажимах ab при размыкании ветви (режим холостого хода):
- •Методы узловых потенциалов и контурных токов в матричной форме
- •Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов в матричной форме
- •Порядок расчета цепи методом контурных токов в матричной форме
- •Расчет электрических цепей с взаимной индуктивностью
- •В каждой из катушек индуктируется эдс, которая определяется собственным потокосцеплением kk и потокосцеплением связанной катушки :
Идеализированные схемные элементы электрической цепи
Реальные элементы электрической цепи – сложные устройства, имеющие в общем случае нелинейные характеристики – зависимости: u(i) - для резистора; (i) – для катушки индуктивности; q(u) – для конденсатора; u(i) или i(u) – для источников энергии. Однако во многих случаях их нелинейностью можно пренебречь. В этом случае говорят о линейной цепи. Электрическая цепь, имеющая в своем составе хотя бы один нелинейный элемент, будет нелинейной. Ниже будут рассмотрены линейные цепи.
Исследование любой цепи начинают с построения ее модели, в которой для отображения свойств реальной цепи вводят в рассмотрение идеальные схемные элементы: активные и пассивные.
К активным относят элементы, осуществляющие преобразование других видов энергии в электромагнитную, т. е. источники (генераторы); к пассивным – элементы, потребляющие или накапливающие электромагнитную энергию.
П а с с и в н ы м и схемными элементами являются: р е з и с т и в - н ы й , учитывающий необратимые преобразования электрической энергии в механическую, химическую и другие виды; и н д у к т и в н ы й , учитывающий накопление энергии в магнитном поле; е м к о с т н ы й , учитывающий накопление энергии в электрическом поле. Для всех пассивных элементов энергия всегда положительная (W > 0).
Линейные элементы полностью определяются постоянными параметрами: электрическим сопротивлением , [R] = Ом; индуктивностью , [L] = Гн (генри); емкостью , [C] = Ф (фарад).
Взаимосвязи между напряжениями и токами, а также энергетические характеристики линейных идеальных пассивных элементов представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Элементы и их изображения |
Характеристики |
Мощность и энергия |
||
Резистивный
|
|
|
|
|
Индуктивный
|
|
|
|
|
Емкостный
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Использование понятий электрический ток и электрическое напряжение требует указания направлений их действия (выбираются произвольно). При согласованных (одинаковых) направлениях, как правило, указывают только направление тока (стрелкой).
2. Если в момент времени t = 0, принятый за начало рассмотрения процесса, ток индуктивного и напряжение емкостного элементов не равны нулю, то их значения суммируются с результатами интегрирования, т.е.
; (1.3)
. (1.4)
3. Зависимости, уравнения и элементы, обладающие формальным сходством, называют дуальными. Согласно табл. 1.1, дуальными являются R и G, L и C, UL и iC и т. д.
Пример 1.1. Определить закон изменения напряжений uR, uL , и uC на пассивных элементах цепи по рис. 1.1, полагая, что с момента времени t = 0 ток в них изменяется по закону i(t) = 2sint А, где - круговая частота, равная 100 рад/с.
РЕШЕНИЕ. Поскольку закон изменения тока известен, определяем искомые напряжения по характеристикам элементов, согласно табл. 1.1, на резистивном элементе
uR = i R = 2sin100t B;
на индуктивном элементе
В;
на емкостном элементе
В,
где принято равным нулю.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Ток синусоидальной формы вызывает на R, L, C - элементах напряжения той же формы, однако напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током, на индуктивном - опережает, а на емкостном - отстает от тока на 900.
2. Индуктивный и емкостный элементы оказывают синусоидальному току сопротивление, зависящее от частоты. Сопротивление индуктивного элемента , сопротивление емкостного элемента .
ПРИМЕР 1.2. Определить закон изменения тока в пассивных элементах цепи с параметрами R = 1 Ом, L = 1 Гн, С = 0,1 Ф, подключенных к напряжению заданной формы (рис. 1.2, б, в, г, д).
РЕШЕНИЕ. Заданное на рис.1.2, а напряжение представляем в аналитической форме:
.
Р ис. 1.2
Ток резистивного элемента полностью повторяет форму приложенного напряжения, согласно закону Ома (табл. 1.1), поэтому на рис. 1.2, в показан закон изменения тока, повторяющий закон изменения входного напряжения.
Ток индуктивного элемента (рис. 1.2, г) определяется интегрированием приложенного напряжения:
Закон изменения тока в емкостном элементе определяется производной от приложенного напряжения, что дает:
График изменения этого тока представлен на рис. 1.2, д.
А к т и в н ы е с х е м н ы е э л е м е н т ы , представляющие собой идеализированные источники энергии, как и реальные источники, делят на два типа: источники ЭДС и источники тока. Те и другие могут быть независимыми (просто источники) и зависимыми (управляемыми). Для источников энергии .
Н езависимый источник ЭДС – двухполюсный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от проходящего через него тока и задано в любой момент времени. Напряжение на зажимах такого источника равно его ЭДС, направление которой указывается на схеме стрелкой (рис. 1.3, а). Если источник постоянной ЭДС (e(t) = E = const), то его внешняя характеристика – зависимость напряжения на его зажимах от отдаваемого тока – прямая линия (рис. 1.3, б).
а б в г
Рис. 1.3
Независимый источник тока – двухполюсник, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Условное изображение источника тока и его внешняя характеристика для J(t) = J = const показаны на рис. 1.3, в и 1.3, г.
Теоретически идеализированные источники обладают неограниченной мощностью, при этом внутреннее сопротивление у источника ЭДС и проводимость у источника тока равны нулю.
З а в и с и м ы м и (управляемыми) источниками называют источники, ЭДС или токи которых зависят от напряжения или тока на некотором участке цепи. Зависимые источники необходимы для отображения свойств электронных устройств: электронной лампы, транзистора, микросхемы и т. д.
Условные графические изображения зависимых источников приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
№ п/п |
Наименование |
Обозначения |
Уравнения |
1.
2.
3.
4. |
Источник напряжения (ЭДС), управляемый напряжением (ИНУН).
Источник напряжения (ЭДС), управляемый током (ИНУТ).
Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН).
Источник тока, управляемый током (ИТУТ).
|
|
; .
; .
; .
; . , , , - коэффициенты управления |