Порядок расчета цепи методом контурных токов

1. С помощью дерева или иным способом находят главные контуры и направления их обхода.

2. Записывают систему контурных уравнений для каждого главного контура кроме контуров, образованных идеальными источниками тока. Управляемые источники учитывают при этом как независимые.

3. Управляющие токи и напряжения выражают через искомые контурные токи с использованием компонентных уравнений и учитывают их в контурных уравнениях.

4. После группировки коэффициентов при неизвестных решают систему уравнений относительно контурных токов.

5. Определяют токи ветвей.

2. Метод узловых потенциалов

Если в качестве переменных при расчете цепи ввести вспомогательные величины - потенциалы узлов (узловые потенциалы), система уравнений сократится до числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (q - 1). Это очевидно, поскольку токи ветвей однозначно определяются разностью потенциалов (напряжением) между узлами по закону Ома (табл. 2.2). При этом потенциал одного (любого) из узлов можно принять равным нулю. Такой узел называют базисным или опорным. Переход от токов ветвей к потенциалам проиллюстрируем на примере фрагмента цепи по рис. 2.13.

Рис. 2.13

Потенциалы узлов , , примем за независимые переменные, узел 4 - за базисный . Стрелки напряжений направим в предполагаемую точку низшего потенциала. Для узла 2 с учетом выбранных направлений токов имеем:

.

Поскольку ; ;

и , и , после

подстановки в уравнения токов получаем:

.

Данное уравнение, где неизвестными являются потенциалы узлов, соответствует следующему алгоритму:

. (2.3)

Здесь - собственная узловая проводимость k-

узла, равная сумме проводимостей

ветвей, присоединенных к данному

узлу;

- взаимные проводимости.

Правую часть уравнения называют узловым током , его составляющие положительные, когда ЭДС Е и задающие токи J_k направлены к узлу. Уравнения (2.3) дуальны уравнениям (2.2).

Правила записи узловых уравнений

1. Потенциал рассматриваемого узла умножается на собственную узловую проводимость.

2. Со знаком минус дописываются произведения потенциалов соседних узлов на взаимные проводимости.

3. В правой части записывается узловой ток.

ПРИМЕР 2.9. В цепи по рис. 2.14 с заданными параметрами R₁ = 0,5 Ом, R₂ = R₃ = R₄ = 1 Ом и постоянными во времени источниками ЭДС Е₁ = 5 В, Е₂ = 4 В и тока J = 2 А определить токи I₁ и I₂ методом узловых потенциалов.

Рис. 2.14

РЕШЕНИЕ. Неизвестными в методе узловых потенциалов являются потенциалы узлов. Всего в данной схеме их три. Потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, например, _С = 0. Тогда для узлов а и b, согласно (2.3), можно записать:

;

.

После подстановки числовых значений имеем:

; .

Решая, находим _а = 2,5 В; _b = - 0,5 В.

Токи I₁ и I₂ находим по закону Ома и найденным потенциалам _а и _b:

; .

Подставляя числовые значения, получаем: I₁ = 5 A, I₂ = 3 A.

ПРИМЕР 2.10. В цепи по рис. 2.12 рассчитать токи ветвей через потенциалы узлов, полагая параметры элементов и коэффициенты управления k,  заданными.

РЕШЕНИЕ. 1. Выбираем в качестве базисного узел 4, положив = 0.

2. Записываем систему узловых уравнений, учитывая управляемые источники как независимые:

;

;

.

3. Управляющие величины зависимых источников выражаем через искомые узловые потенциалы. Для упрощения переходим к проводимостям :

;

.

4. Подставляем найденные зависимости в узловые уравнения и группируем коэффициенты при неизвестных:

;

.

5. Выражаем токи ветвей через узловые потенциалы:

; ;

; .