- •А. М. Купцов
- •Основы теории цепей
- •Часть 1
- •Линейные электрические цепи
- •В ведение
- •I. Элементы и топологические свойства электрических цепей
- •Общие сведения и определения
- •Идеализированные схемные элементы электрической цепи
- •Линейные модели реальных элементов цепи
- •1.4. Схемы электрических цепей и их структура
- •1.5. Граф цепи. Топологические матрицы
- •1.6. Задачи исследования электрических цепей. Общие вопросы формирования уравнений
- •1.7. Общие свойства решений уравнений цепи
- •Основные методы расчета электричеких цепей
- •2.1. Комплексный метод
- •Метод наложения
- •Метод контурных токов
- •Порядок расчета цепи методом контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Правила записи узловых уравнений
- •Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов
- •Метод эквивалентного источника
- •Эдс ег определяется напряжением на зажимах ab при размыкании ветви (режим холостого хода):
- •Методы узловых потенциалов и контурных токов в матричной форме
- •Порядок расчета цепи методом узловых потенциалов в матричной форме
- •Порядок расчета цепи методом контурных токов в матричной форме
- •Расчет электрических цепей с взаимной индуктивностью
- •В каждой из катушек индуктируется эдс, которая определяется собственным потокосцеплением kk и потокосцеплением связанной катушки :
Основные методы расчета электричеких цепей
Вынужденные составляющие в виде постоянной величины и периодической синусоидальной функции времени (частное решение дифференциального уравнения) называют установившимися составляющими, поскольку они характеризуют установившийся режим цепи после затухания свободной составляющей. Режим перехода цепи от одного установившегося состояния к другому принято называть переходным процессом или режимом.
Ниже рассматриваются методы расчета цепей в установившемся режиме.
2.1. Комплексный метод
Токи и напряжения, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, записывают:
,
где - амплитуда или максимальное значение,
) – фаза, измеряемая в радианах или градусах,
- начальная фаза, определяющая значение функции при t = 0,
- угловая частота (рад/с), определяющая период колебаний
.
Число периодов в секунду называют циклической или просто частотой , измеряемой в герцах (Гц).
Амплитуда, частота и начальная фаза полностью характеризуют синусоидально изменяющуюся величину, однако на практике для оценки действия синусоидальных токов и напряжений вводят действующее и среднее (по модулю) значения.
Действующим или среднеквадратичным называют величину:
.
На действующие значения градуируются приборы, предназначенные для измерения переменных токов и напряжений.
Среднее значение по модулю определяется:
.
На средние значения градуируются приборы, предназначенные для измерения постоянных токов и напряжений.
На рис. 2.1 показаны временной график синусоидальной функции (а) и ее векторное изображение или векторная диаграмма (б).
а б
Рис. 2.1
Нетрудно представить, что операции с синусоидальными токами и напряжениями, имеющими различные начальные фазы, в тригонометрической и графической формах сложны и громоздки. Поэтому широкое распространение получил комплексный (символический) метод.
Суть его - в представлении синусоидальных функций одинаковой частоты функциями комплексной частоты. Для перехода от функций времени к функциям комплексной частоты используют формулу Эйлера: , где - мнимая единица (йот). Согласно этой формуле, , где обозначает мнимую часть комплексного числа, которое, в свою очередь, можно представить . Здесь - фазовый множитель, а - временной множитель.
Если ввести в рассмотрение знак соответствия , то для фиксированного момента времени t = 0 будем иметь: f(t) . Здесь - комплексная амплитуда; - комплексное действующее значение функции.
При сложении (вычитании) комплексных чисел их записывают в алгебраической форме и отдельно складывают (вычитают) их действительные и мнимые части.
Например, если ,
а ,
то ,
где ; .
Умножение и деление комплексных величин производят, как правило, в показательной форме:
;
.
В комплексной форме дифференцирование по времени соответствует умножению, а интегрирование - делению комплексных значений рассматриваемых функций на j, так что:
;
.
Величины XL и XC - индуктивное и емкостное сопротивления гармоническому току;
ZL и ZC – соответственно индуктивное и емкостное сопротивления в комплексной форме.
Для резистивного элемента напряжение в комплексной форме определяется:
uR = R i U mR = R I m = Z R I m ,
где ZR = R - величина вещественная.
Если пользоваться действующими значениями, тогда:
U R = Z R I ; U L = Z L I ; UC = ZC I.
Примеры определения входных (эквивалентных) комплексных сопротивлений двухполюсников, состоящих (образованных) из R, L, C – элементов приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Величину, обратную комплексному сопротивлению, называют комплексной проводимостью . Как следует из приведенной табл. 2.1, при последовательном соединении пассивных элементов суммируются алгебраически их комплексные сопротивления, а при параллельном – комплексные проводимости.
Выражения комплексных сопротивления Z и проводимости Y для любого двухполюсника содержат информацию как о соотношении между действующими (амплитудными) значениями тока I и напряжения U, так и фазовом сдвиге между ними:
; .
Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления представляют его активное R и реактивное X сопротивления:
.
Аналогично вещественная и мнимая части комплексной проводимости Y представляют активную G и реактивную b проводимости:
.
Нетрудно установить, что
; ; .
Соотношения между R, X, Z, G, b, y иногда изображают графически в виде треугольников сопротивлений и проводимостей, показанных на рис. 2.2, а и б соответственно.
а б
Рис. 2.2
Согласно рис. 2.2, активные и реактивные сопротивления и проводимости без фазового множителя складывать н е л ь з я.
ПРИМЕР 2.1. Определите комплексную амплитуду тока, изменяющегося по закону i(t) = 10sin(100t + 300).
РЕШЕНИЕ. Комплексная амплитуда представляет собой функцию, модуль которой равен амплитуде заданной функции времени, а фазовый множитель еj определяется ее начальной фазой во временной области. Таким образом, I m = 10ej30 или в алгебраической форме I m = 8,65 + j5.
ПРИМЕР 2.2. Определить входные комплексные сопротивления цепи по рис. 2.3 с элементами R = 10 Ом; L = 50 мГн; С = 1 мФ на частотах 1 = 0 и 2 = 100 рад/с.
Рис. 2.3
.
Подставляя численные значения параметров элементов для частоты 1 = 0, получаем:
Ом.
Для частоты 2 = 100 рад/с имеем:
Ом.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Сигнал с частотой 1 = 0 и периодом Т = является постоянным во времени, поэтому входное сопротивление данной цепи чисто вещественное, соответствующее сопротивлению R.
Отсутствие мнимой составляющей в комплексном сопротивлении Z(100) на частоте 2 = 100 рад/с объясняется взаимной компенсацией сопротивлений индуктивности и емкости.
Уравнения цепи в комплексной форме записывают на основе законов Кирхгофа, как показано в табл. 2.2.
Для однозначности записи уравнений цепи соблюдают следующие правила:
1. Положительные направления напряжений ветвей совпадают с произвольно выбранными положительными направлениями токов;
2. При записи первого закона Кирхгофа токи, выходящие из узла, считаются положительными, а входящие в узел - отрицательными;
Таблица 2.2
|
Для мгновенных значений |
В комплексной форме |
Закон Ома для ветви с ЭДС
|
|
|
Первый закон Кирхгофа для узлов |
|
|
Второй закон Кирхгофа для контуров |
или |
,
или
|
3. При записи второго закона Кирхгофа положительным считают напряжение, направление которого совпадает с направлением обхода контура;
4. Положительные направления напряжения и тока на источниках энергии - противоположны.
Например, для узла, изображенного на рис. 2.4, а, следует записать:
а б
Рис. 2.4
или ,
если токи синусоидальные, одинаковой частоты.
Для контура, показанного на рис. 2.4, б, имеем:
.
или .
Из первого закона Кирхгофа, в частности, следует:
.
Это дает возможность определять один из токов по m-1 известным. Аналогичное равенство записывается и для второго закона Кирхгофа:
.
ПРИМЕР 2.3. Определить ток i1 по рис. 2.4, а, если i2 = 3sint A; i3 = 4cost A.
РЕШЕНИЕ. На основании первого закона Кирхгофа
i1 = i2 - i3 = 3sint - 4cost.
Вычисления произведем комплексным методом, изобразив
; ; ,
тогда .
Переходя во временную область, получаем: i1 = 5sin(t - 53,130) А.
ПРИМЕР 2.4. Определить действующие комплексные значения токов I 3, I 5 и I 6 для фрагмента цепи, показанного на рис. 2.5, по заданным токам, изменяющимся по синусоидальному закону:
А; А;
А.
Рис. 2.5
РЕШЕНИЕ. Нетрудно показать, что первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому сечению, поэтому
- i1 - i2 + i3 = 0.
Отсюда i3 = i1 + i2 . Затем i5 = i3 + i4 и i6 = - i2 - i4.
Записывая заданные токи в комплексной форме для действующих значений ; ; ; и подставляя их в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, находим:
А; А;
А.
ПРИМЕР 2.5. Определите в комплексной форме действующее значение напряжения ветви по рис. 2.6, если R = 86,5 Ом; XL = 20 Ом;
XC = 150 Ом; В; А.
Рис. 2.6
РЕШЕНИЕ. Согласно второму закону Кирхгофа для действующих значений напряжений имеем:
или ,
где А; В.
Подставляя численные значения, получаем:
В.