- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
Покры́тие в математике — это семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.
Определения
Пусть дано множество . Семейство множеств называется покрытием , если
Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Тогда семейство открытых множеств называется открытым покрытием , если
Лемма Гейне — Бореля
Формулировка Пусть — замкнутое ограниченное множество в пространстве . Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество .
Кратко говорят так: всякое открытое покрытие замкнутого ограниченного множества в пространстве содержит конечное подпокрытие. При этом покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых множеств.
Имеет место и обратное предложение: для того чтобы всякое открытое покрытие множества содержало конечное подпокрытие необходимо, чтобы множество было замкнутым и ограниченным.
Первое доказательство Пусть отрезок покрыт бесконечной системой интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из . Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.
Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из . Но если — точка, в которую стягиваются отрезки, то, поскольку лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал системы . Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом . Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.
Второе доказательство Пусть система интервалов покрывает отрезок . Обозначим через множество всех точек , для которых отрезок может быть покрыт конечным числом интервалов из . Ясно, что если всякий отрезок вида может быть покрыт конечным числом интервалов из , то же верно и для отрезка : для этого возьмем интервал , покрывающий точку , и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка , где , получим конечное покрытие отрезка . Более того, полученная конечная подсистема интервалов покрывает не только отрезок , но и некоторый отрезок вида , где .
Из первого следует, что точная верхняя грань множества принадлежит множеству . Из второго, что она должна быть равна . Тем самым, , то есть отрезок может быть покрыт конечным числом интервалом из .
16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.
Все значения, которые принимает функция f(x) (при х D), образуют область значения (изменения) функции Е.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существует три способа задания функции: табличный, аналитический, графический.
Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х рядом выписывается соответствующее значение у, получается таблица. Например:
С точки зрения математики здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить функцию.
Способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(x) некоторое выражение с переменной х - называется аналитическим способом.
Пример 1. Функция у=f(х) задана аналитической формулой:
Найти f(-х), f(|х|). Чтобы найти f(-х), надо в f(х) всюду вместо х подставить (-х). Получим:
. Аналогично находим и для f(|х|).
Пример 2. Найти область определения функции
Выражение вида определено при тех х, для которых х-1 0, т.е. при х 1 Значит, область определения функции - луч [1,+∞).
Пример 3. Найти области определения и значений функции y=lg(4-3x-x2).
Логарифмическая функция определена, если 4-3x-x2>0. Корни квадратного трехчлена: x1=-4, x2=1. Записанное выше неравенство равносильно неравенству -(x+4)(x-1)>0 , что возможно при x>4 и x<1. Область определения данной функции есть интервал (-4;1). Так как в D 0<4-3x-x2 25/4, то интервал (-∞ ;lg(25/4)) - область значения функции.