- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
Расширенное множество действительных чисел
Множество , состоящее из элементов множества R и двух символов -∞ и +∞, называется расширенной системой действительных чисел; причем выполняются следующие условия:
а) ;
б) если a > 0, то ;
в) если a < 0, то .
Символ -∞ (+∞) называется минус (плюс) бесконечностью.
Аксиомы сложения На множестве вещественных чисел, обозначаемом через (так называемую R рубленую), введенаоперация сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.
(коммутативность сложения);
(ассоциативность сложения);
(существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
(существование противоположного элемента).
Аксиомы умножения На введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.
(коммутативность умножения);
(ассоциативность умножения);
(существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
(существование обратного элемента).
Связь сложения и умножения
(дистрибутивность относительно сложения).
Аксиомы порядка На задано отношение порядка « » (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из выполняется хотя бы одно из условий или .
;
;
.
Связь отношения порядка и сложения
.
Связь отношения порядка и умножения
.
Аксиома непрерывности
Следствия аксиом
Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например, единственность нуля, противоположного и обратного элементов.
9. Пиано постулаты и принцип математической индукций.
Словесная
1 является натуральным числом;
Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то и тождественны;
(Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Математическая
Введём функцию , которая сопоставляет числу следующее за ним число.
;
;
;
;
.
Или так:
;
;
;
.
Формализация арифметики
Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:
Принцип полной математической индукции
Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
Пусть имеется последовательность утверждений , , , . Если для любого натурального из того, что истинны все , , , , , следует также истинность , то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть .
В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при импликация эквивалентна . Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильнойтрансфинитной индукции.
Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.