41. Теорема о промежуточном значении для производной.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что   Тогда для любого   существует   такое, что  .

Доказательство  Рассмотрим функцию   Она непрерывна на отрезке   и  ,   Покажем, что существует такая точка  , что   Разделим отрезок   точкой   на два равных по длине отрезка, тогда либо   и нужная точка   найдена, либо   и тогда на концах одного из полученных отрезков функция   принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок  , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке  , либо получим последовательность вложенных отрезков   по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть   - общая точка всех отрезков  ,   Тогда   и в силу непрерывности функции 

Поскольку

получим, что 

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.)

Словами. Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Словами и формулами. Пусть   и   Тогда   такое, что 

• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

42. Правило Лапиталя для неопределенности.

Точная формулировка

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида  .

Поскольку мы рассматриваем функции   и   только в правой проколотой полуокрестности точки  , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть  . Возьмём некоторый   из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку   теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но  , поэтому  .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через  , из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен  . Тогда, при стремлении   к   справа, это отношение можно записать как  , где   —O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем   из отрезка   и применим теорему Коши ко всем   из отрезка  :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для  , достаточно близких к  , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как   и   — константы, а   и   стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен  , где   — бесконечно малая функция при стремлении   к   справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении для  :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде  , и  . По любому данному   можно найти такое  , чтобы модуль разности отношения функций и   был меньше  , значит, предел отношения функций действительно равен  .

Если же предел   бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении   будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при  , достаточно близких к  , а тогда  .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• 

• Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае  ). В этом примере получается:

• ;

•  при  .