- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности). 2. В n-мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М(х1; х2; …; хn), координаты которых удовлетворяют неравенству , называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А(а1; а2; …; аn) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А. Множество точек М(х1; х2; …; хn), координаты которых удовлетворяют системе неравенств н азывается параллелепипедальной окрестностью точки А(а1; а2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве параллелепипед
с центром в точке А.
3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.
Внутренняя точка
1. Внутренняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой целиком состоит из точек данного множества.
Пример
Точка 0,75 – внутренняя точка отрезка [0; 1]: ее окрестность (0,7; 0,8) целиком лежит в этом отрезке.
2. Аналогично определяется внутренняя точка множества точек некоторого (метрического) пространства – это точка, содержащаяся в этом множестве вместе с некоторой открытой окрестностью.
Замкнутое множество
Определение Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .
Операция замыкания
Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее . Замыкание множества обычно обозначается , или если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .
Критерий замкнутости
Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: .
Примеры
Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью.
Евклидово пространство
Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.
Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.
Метрическое пространство
Пусть — некоторое метрическое пространство, и . Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки относительно метрики .
Топологическое пространство
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.
Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств —«топологию», определённую на . Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .