20. Односторонние пределы функций.

Определения Пусть на некотором числовом множестве   задана числовая функция   и число   — предельная точка области определения  . Существуют различные определения для односторонних пределов функции   в точке  , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякойпоследовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу  .^[1]

Односторонний предел по Коши

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .^[1]

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

• При этом используются также сокращённые обозначения:

  •  и   для правого предела;

  •  и   для левого предела.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Коши

• Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного   в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка  . В этом случае число   называется пределом функции   на бесконечности, если для произвольного положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек, превышающих   по абсолютному значению, справедливо неравенство  .

• Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором для любого числа   найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число  называется пределом функции   на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек, лежащих правее  , справедливо неравенство  .

• Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором для любого числа   найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число  называется пределом функции   на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек, лежащих левее  , справедливо неравенство  .

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция   определена на множестве  , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка   называется пределом функции   на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки  .