10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Формулировки Известно несколько формулировок теоремы Больцано Вейерштрасса.
Первая формулировка
Пусть
предложена последовательность
точек пространства
:
и пусть эта последовательность ограничена, то есть
где 
—
некоторое число.
Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность
которая сходится к некоторой точке пространства .
Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.
Вторая формулировка
Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Всякое
ограниченное бесконечное
подмножество 
пространства
имеет
по крайней мере одну предельную
точку в
.
Более
подробно, это означает, что существует
точка 
,
всякая окрестность 
которой
содержит бесконечное число точек
множества
.
Доказательство
Одномерный случай
Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.
Пусть дана ограниченная числовая последовательность
Из
ограниченности последовательности
следует, что все ее члены лежат на
некотором отрезке числовой прямой,
который обозначим 
.
Разделим
отрезок
пополам
на два равных отрезка. По крайней мере
один из получившихся отрезков содержит
бесконечное число членов последовательности.
Обозначим его 
.
На следующем шаге повторим процедуру
с отрезком
:
разделим его на два равных отрезка и
выберем из них тот, на котором лежит
бесконечное число членов последовательности.
Обозначим его 
.
Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков
в
которой каждый последующий является
половиной предыдущего, и содержит
бесконечное число членов последовательности 
.
Длины отрезков стремятся к нулю:
В
силу принципа
вложенных отрезков Коши — Кантора,
существует единственная точка
,
принадлежащая всем отрезкам:
По
построению на каждом отрезке 
лежит
бесконечное число членов последовательности.
Выберем последовательность
соблюдая при этом условие возрастания номеров:
Тогда
подпоследовательность 
сходится
к точке
.
Это следует из того, что расстояние
от 
до
не
превосходит длины содержащего их
отрезка
,
откуда
11. Операций над множествами действительных чисел.
Множество – совокупность некоторых предметов, которые называются элементами, объединенных по некоторому признаку.
Множество – понятие неопределимое, основное понятие математики.
Примеры. 1) Множество прямоугольников.
2) 
.
3) Множество планет Солнечной системы.
4) 
–
множество натуральных чисел.
Обозначения: 
–
множество рациональных чисел; 
–
множество целых чисел; 
–
множество вещественных чисел.
– 
–
элемент
множества 
;
или 
—
пустое множество.
Способы задания множеств
I. Перечисляются все элементы множества
Примеры.
1)
,
2) 
,
3) 
.
II. Множество задается выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными.
Примеры.
1) 
,
.
2) 
,
.
3) 
,
.
III. Задание множества характеристическим свойством элементов.
Характеристической свойство – свойство, которым обладают все элементы множества и больше ничего.
Примеры.
1) 
,
2) 
,
3) 
–
множество всех натуральных 
,
для которых уравнение
разрешимо в натуральных числах.
Пример. Верно или нет следующее
1) 
?
Неверно,
так как 
.
2) 
?
Верно,
так как 
.
3) 
Верно,
так как 
при 
.
Определение. Множество 
называется
подмножеством множества
,
если каждый элемент множества
является
элементом множества
.
Обозначение. 
.
Определение. Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.
или 
Примеры.
1) 
, 
2) 
, 
,
3) 
,
,
.
Определение. Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Примеры.
1) 
,
.
2) 
,
3)
–
множество всех ромбов,
–
множество всех
прямоугольников, 
–
множество всех квадратов.
4) 
.
Определение. Разностью множеств и называется множество всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .
Обозначение. 
.
Примеры.
1) 
,
2)
–
множество ромбов,
–
множество прямоугольников, 
–
множество ромбов, не являющихся
квадратами.
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}