28. Композиция двух функции и её непрерывность.

Определение

Пусть   и   две функции. Тогда их композицией называется функция  , определённая равенством:

.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся набор функций от одной или нескольких исходных переменных. Например функция   вида

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

.

• Если   — тождественное отображение на  , то есть

,

то

.

• Если   — тождественное отображение на  , то есть

,

то

.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества   на себя и обозначим его  . То есть если  , то   — биекция. Тогда композиция функций из   является бинарной операцией, а   — группой.   является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу  является   — обратная функция.

  • Группа  , вообще говоря, не коммутативна, то есть  .

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть   — топологические пространства. Пусть   и   две функции,  . Тогда  .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть  . Тогда  , и

.

29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.

Ограниченная функция. Пусть функция (одного или многих переменных) определена на множестве D. Если множество ее значений ограничено, когда аргумент (аргументы) пробегают все множество D, функция называется ограниченной. Соответственно, если множество значений функции ограничено сверху (снизу), то функция также называется ограниченной сверху (снизу).

Пример1. Рассмотрим функцию   Она ограничена на луче [1; +) (её модуль на этом множестве не больше 1), но не ограничена и не ограничена сверху на интервале (0; 1), хотя на нём ограничена снизу (например, числом 1). На луче (–∞; 1) она ограничена (её модуль на этом множестве также не больше 1), не ограничена и не ограничена снизу на интервале (–1; 0), хотя на нём она ограничена сверху (например, числом 0 или числом –1). Все указанные свойства хорошо видны на графике функции. 2. Функция z = x² + y² ограничена на любом ограниченном множестве точек плоскости; на таком множестве она, естественно, ограничена и сверху, и снизу.

Теорема  (об ограниченности непрерывной функции)   Пусть функция   непрерывна на отрезке  . Тогда   ограничена на  , то есть существует такая постоянная  , что   при всех  .

       Доказательство.     Предположим обратное: пусть   не ограничена, например, сверху. Тогда все множества  ,  ,  , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств   имеется наименьшее значение  ,  . Покажем, что Действительно,  . Если какая-либо точка из  , например  , лежит между   и  , то

то есть   -- промежуточное значение между   и  . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка  , такая что  , и  . Но  , вопреки предположению о том, что   -- наименьшее значение из множества  . Отсюда следует, что   при всех  .

Точно так же далее доказывается, что   при всех  ,   при всех  , и т. д. Итак,   -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом  . Поэтому существует  . Из непрерывности функции   следует, что существует  , но   при  , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция   ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что   ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы. 

30. Теорема о промежуточном значении.

Теорема (о промежуточном значении). Пусть функция непрерывна на отрезке и .

Тогда каждое число , принадлежащее интервалу с концами в точках и является значением функции хотя бы в одной точке , то есть .

Доказательство. ►Рассмотрим функцию . Очевидно, что и непрерывна на . Тогда по предыдущей теореме существует точка , откуда получаем .◄

Замечание. Требование непрерывности функции в последних теоремах существенно.

Примером, иллюстрирующим этот факт, может служить функция , определенная на отрезке и не принимающая значения .

31. Равномерная непрерывность функции. Примеры. Теорема.

О п р е д е л е н и е  1. Функция  , определенная на множестве  , называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого   найдется  , зависящее только от  , такое, что

для всех  , удовлетворяющих неравенству  .

Т е о р е м а  1.  Если функция   определена и непрерывна на отрезке  , то она равномерно непрерывна на нем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое  , что для любого   найдется пара точек  , удовлетворяющих неравенству  , для которых

.

Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел  . Для каждого   найдутся точки   такие, что

, но  .                                      (1)

Так как последовательности   принадлежат к  , то эта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность  , сходящуюся к некоторой точке  . Так как  ,  , то подпоследовательность   тоже сходится к точке  . По условию функция   непрерывна на   и, следовательно, непрерывна в точке  . Конечно, если   или  , то надо считать, что   непрерывна в   справа или соответственно слева. Поэтому

.

После перехода к пределу в (1) при   получим

,                              (2)

и мы пришли к противоречию:  .

Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывностью функции Теорема доказана.

П р и м е р  1. Функция

непрерывна на отрезке  , поэтому на основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.

С другой стороны, на полуинтервале   эта функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а не на интервале, существенно.

Убедимся в том, что наша функция не является равномерно непрерывной на  . Точки  , очевидно, принадлежат полуинтервалу  , и для  них

.

Если задать  , то при любом   найдется такое  , что

,

между тем как

.

Из сказанного следует, что нашу функцию нельзя продолжить на отрезок  , доопределив ее в точке   так, чтобы она стала непрерывной на  , потому что тогда, согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на  , а следовательно, и на  , чего быть не может.

32. Непрерывность непостоянной монотонной функции на отрезках.

33. Дифференцируемость функции во внутренней точке.

34. Различные интерпретации производной функции.

35. Дифференцируемость и непрерывность.

36. Дифференцирование и арифметические операций.