Типы шкал

Сложившаяся типология шкал отражает формальный аспект измерений и связывается многими авторами с последовательным переходом от одного, более низкого уровня измерений к другому, более высокому уровню измерений. С этой точки зрения шкалирование может быть представлено в трёх видах: классификации, ранжирова

10

нии, введении метрики.

В разных работах существуют различной строгости определения шкалирования [3, 6, 7, 8] , однако мы будем придерживаться формально строгого определения типов шкал через свойства отображения f [4].

I. При помощи самого общего и наиболее слабого из методов, позволяющих приписывать числа объектам, – классификации –получают номинальные шкалы, иначе называемые шкалами классификаций или шкалами наименований. В номинальной шкале объекты помещаются в отдельные непересекающиеся категории (классы). Знаки, используемые для обозначения классов, обладают только одним свойством – быть отличными друг от друга. Номер класса присваивается объекту как ярлык и не имеет количественного значения. Примерами измерений такого рода является нумерация анкет.

Оставаясь в рамках теории измерений по Айдукевичу, введем определение номинальной шкалы как формального объекта, состоящего из множества предметов х , упорядочивающего его отношения , подмножества L множества действительных чисел D, отношения "не равно" ( ), упорядочивающего его, отношения M^x, однозначно сводящего множество x к L с соблюдением условия

Последнее определение явно сводится к определению номинальной шкалы в работе [4]. В ней тип шкалы определяется на языке введения классов числовых преобразований, т.е. свойствами единственности отображения f. А именно, в данном случае тип шкалы – номинальная шкала – определяется следующим образом: пусть ( u , k , f ) и (u , k , ) – две шкалы, причем о обозначает суперпозицию функций, т.е. ( )(а) = ( f(a)). Тогда шкала (u , k , f) называется номинальной, если преобразование обладает свойством однозначности.

Первое определение номинальной шкалы сводится к последнему, т.к. имеет упорядоченную тройку (u, k, f) , где и={x, }, k={D, }, a f=M^х , причем применение к M^x однозначного преобразования сохраняет номинальную шкалу.

2. В том случае, когда объекты могут быть расположены в некотором порядке относительно изучаемого признака, говорят,

11

что они проранжированы. Порядок чисел, присвоенных объектам, соответствует порядку самих объектов, установленному относительно изучаемого признака.

Измерение, проводимое на уровне порядковых (или ранговых) шкал, обладает всеми свойствами измерения, проводимого на уровне номинальных шкал. Кроме того, оно обладает новыми свойствами, т.к. при использовании ранговых шкал исследователем устанавливается между объектами и отношение эквивалентности, и отношение порядка.

Примером построения шкал такого рода является упорядочение различных потребительских благ по их предпочтительности при построении функций полезности.

Для порядковых шкал преобразование должно быть монотонным.

3. К метрическим шкалам относятся шкала отношений и шкала интервалов. (Шкалу отношений часто называют также пропорциональной шкалой)

Примером шкал отношений могут быть обычные измерения веса, расстояния. (Трудно привести наглядный пример метрической шкалы из области социологии. Все метрические шкалы, которые в ней используются, взяты из смежных областей, например стаж, возраст и т.д.)

В шкале отношений числа присваиваются объектам так, чтобы между числами выполнялась та же пропорция, какая существует между объектами. Эта шкала подразумевает фиксированную точку отсчета – начало отсчета. Для нее преобразование должно быть преобразованием подобия

,

где параметр означает, что единица измерения произвольна.

Измерения температуры, даты – измерения по шкале интервалов , для которой произвольны и единица измерений, и начало отсчета. При таком типе измерений отношение двух разностей не зависит от единицы и нулевой точки шкалы.

Для шкал интервалов должно быть положительным линейным преобразованием

.

Иногда вводят еще, кроме перечисленных типов шкал, поня–

12

тие абсолютной шкалы, примером которой могут быть измерения числа людей в любой группе, числа предметов в любом наборе.

Для абсолютной шкалы преобразование должно быть тождественным; т.е.

.

Оставаясь в рамках теории измерений по Айдукевичу, дадим следующее определение абсолютной шкалы. Абсолютная шкала – это формальный объект, состоящий из множества х , элементами которого являются всевозможные подмножества множества х, упорядочивающего его отношения , множества натуральных чисел L – с упорядочивающим отношением "больше" (>), однозначного отношения M^A , ставящего в соответствие элементу A х кардинальное число множества A с соблюдением условия

.

Абсолютную шкалу трудно отнести к какому–либо из трех основных перечисленных типов, т.к. в сущности она представляет собой суперпозицию двух шкал: шкалы классификации, построенной в отношении некоторого признака, и собственно абсолютной шкалы, построенной в отношении особого признака – кардинального числа множеств. Абсолютная шкала – особый случай шкал в принятой типологии.