Динамика групп, определенных разделяющим признаком

Имеются группы, образованные по признаку X_q (например, при делении общей совокупности опрошенных по ответам на вопрос о социальном положении, месте жительства и т.п.).Полученные таким образом группы сравниваются друг с другом по степени близости по другому признаку Х_z. Это могут быть вопросы, касающиеся структуры свободного времени, уровня заработной платы, отношений между людьми и т.д.

Допустим, что по признаку X_q возникло t_q групп вида .

Каждый из объектов (i = 1,2,…,t_q) может попасть в градацию или в комплекс градаций по признаку Х_z. Причем некоторые из этих градаций могут совпадать с градациями, в которые попали объекты из других групп , поэтому группы в целом могут быть похожи друг на друга по Х_z.

Ниже рассматривается случай, когда меры различия между группами объектов и (i,j = 1,2,…,t_q) могут меняться во времени.

Запишем матрицу мер близостей, элементы которой зависят от времени

109

Измерение элементов матрицы Q(τ_k) производится в момент τ₁, τ₂,…, τ_n, где τ₁ – дата первого замера и τ_n – дата последнего замера. Определим величину изменения меры различия по признаку Х_z между группами объектов и за время от τ_k до τ_k+1, как ∆_ij(τ_k+1) = Q_ij(τ_k+1) – Q_ij(τ_k); i = 1,2,…,t_q; j = 1,2,…,t_q (13)

Возможен следующий случаи:

а) Q_ij(τ_k+1) > Q_ij(τ_k), т.е. различие по Х_z между группами и увеличивается. Тогда ∆_ij(τ_k+1) > 0.

б) Q_ij(τ_k+1) = Q_ij(τ_k), т.е. различие по Х_z между группами и не изменилось. Тогда ∆_ij(τ_k+1) = 0.

в) Q_ij(τ_k+1) < Q_ij(τ_k), т.е. различие по Х_z между группами и уменьшилось. Тогда ∆_ij(τ_k+1) < 0.

Определим скорость изменения различия между группами и как

Очевидно, что, чем короче период, за который происходит изменение в близости между группами, тем выше скорость изменения.

Учитывая, что Q_ij(τ_k+1) ≤ 1, нетрудно получить

Здесь ∆τ = τ_k+1 – τ_k. Отрицательный знак скорости означает сближение групп и по признаку Х_z, положительный – наоборот, удаление групп и друг от друга по признаку Х_z.

Запишем матрицу скоростей Т(τ_k+1), давшую полную картину динамики близости между группами объектов в момент времени τ_k+1 (k = 2,3,4,…,n)

110

Предлагаемый метод регистрации социальных изменений во времени наиболее удобен в случае большого количества групп , т.е. при больших τ_q, так как именно в этом случае, когда исследователь сталкивается с большим количеством числовой информации, необходимо введение мер ∆_ij(τ_k+1) и Т_ij(τ_k+1), построение матриц ∆(τ_k+1) и Т(τ_k+1) с последующей фильтрацией для дальнейшего изучения процессов с наибольшим изменением за период ∆τ, т.е. быстропротекающих процессов.

Последнее реализуется с помощью задания порога для величин ∆_ij(τ_k+1) или Т_ij(τ_k+1), которые разрешается выводить на печать ЭВМ.

Изменение мер во времени и образование "Супергрупп"

Предполагается, что имеется множество групп объектов , образованных по признаку Х_q отличающихся друг от друга по признаку Х_z. Меры близости между этими группами в разные моменты времени фиксируются с помощью ряда матриц Q(τ_k) k = 1,2,…, n. Пусть в момент времени τ_k имеется матрица мер различия Q(τ_k) вида (12) для множества исходных групп и обобщенная мера различия , характеризую

111

щая различие [1] между всеми группами объектов . (i = 1,2,..., t_q) одновременно. Так как со временем парные меры различия между группами объектов меняются, то естественна зависимость от времени обобщенной меры

,

где - отношение информации, даваемой признаками Х_q о признаке Х_z в момент времени τ_k, к величине энтропии признака Х_z, в момент времени τ_k.

Если в фиксированный момент времени τ_k, используя матрицу мер различий Q(τ_k) между группами, объединять последовательно самые похожие по Х_z группы объектов в единые комплексы, то на некотором шаге такого объединения обобщения мера близости достигает максимума.

Полученные таким образом комплексы, состоящие из исходных групп, будем называть супергруппами. Так как на каждом шаге такого объединения возрастали, то можно утверждать, что полученные супергруппы будут больше отличаться друг от друга по признаку Х_z, чем группы исходного множества . Пример такого объединения при фиксированном моменте времени τ_k изображен на рис. 6.

Здесь стрелками показано, каким образом исходные группы объектов были объединены в супергруппы.

Учитывая, что парные меры близости Q_ij(τ_k) между исходными группами объектов и изменяются во времени, можно утверждать, что объединение в супергруппы в момент τ_k не обязательно должно совпадать с объединением в супергруппы в момент τ_k+1. Так, группа (см. рис. 6), входящая в супергруппу в момент τ₁ может к моменту τ₂ настолько "приблизиться" по Х_z к группе , что в этот момент будет выгоднее образовать супергруппу ( , ). чем оставлять в (см.рис.7).

На рис. 7 изображен граф, вершины которого представляют супергруппы. Если группа в момент τ₂ находилась в супергруппе ( , ) и в момент τ₃ она перешла в ( , , ). то это фиксируется в виде дуги, направленной от вершины графа, соответствующей супергруппе ( , ), к вершине графа супергруппы ( , , ). Чтобы установить состав супергруппы, необходимо просмотреть все дуги, входящие в вершину графа, изображающую эту су-

113

пергруппу. Совокупность исходных групп, названия которых надписаны над этими дугами, составит структуру супергруппы.

Состав супергрупп, образованных в момент τ, записывается над вершинами графа, соответствующими этим супергруппам.

Имея граф типа, изображенного на рис. 7, можно проследить "траекторию" каждой исходной группы во все моменты τ_k (k = 1,2,…, n). Образование супергрупп необходимо, так как среди множества исходных групп могут оказаться либо одинаковые, либо очень сходные по Х_z группы.

Объединение таких групп нужно для упрощения в дальнейшем исходного множества групп .

Например, нет необходимости рассматривать отдельно исходные группы и (см. рис. 7), так как во все моменты они входят вместе в одни и те же супергруппы.

Образование супергруппы может послужить сигналом для детального исследования близости по Х_z между исходными группами, входящими в супергруппы, а также причин, приведших к объединению групп в супергруппу.

Если группы, образующие супергруппу в момент τ_k, состоят из людей, то может встать вопрос о формах единства этих групп людей в реальной жизни, информация о которых не была вложена в предварительное исследование.

114

Литература

1. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М., "Прогресс", 1963.

2. Rajeki C. Transaction of the third Prague conferense. – Information theory statistical decision function and random processes. Prague, 1962, 1962, p.583

5. Вопросы статистической теории распознавания. 1967.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального я интегрального исчисления. "Физматгиз, 1965.

115