Варианты.

Функция f(x) определена таблицей. Требуется аппроксимировать функцию у = f(x) алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Q_n(x), n = 0  4 и оценить погрешности каждого приближения. Построить графики полученных приближений и сравнить их с графиком функции Q₄(x) = f(x).

1.	xi	1	2	3	4	5	2.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1,1	1,4	1,6	1,7	1,9		yi	1,06	1,55	1,7	1,75	1,8

3.	xi	1	2	3	4	5	4.	xi	1	2	3	4	5
	yi	0,4	0,55	0,13	0,09	0,07		yi	7,5	6,2	5,5	3,5	3

5.	xi	1	2	3	4	5	6.	xi	1	2	3	4	5
	yi	8,2	5,9	4,9	4	3,2		yi	7,2	5,9	4,9	4	3,2

7.	xi	1	2	3	4	5	8.	xi	1	2	3	4	5
	yi	7,1	6,1	4,9	4,	3,1		yi	0,55	0,7	0,77	0,82	0,85

9.	xi	1	2	3	4	5	10.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1,1	1,55	1,9	2,3	2,6		yi	1,1	1,55	1,9	2,25	2,5

11.	xi	1	2	3	4	5	12.	xi	1	2	3	4	5
	yi	5,1	4,4	3,2	2,7	2,55		yi	5,1	3,4	3,2	2,7	2,55

13.	xi	1	2	3	4	5	14.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1,9	5,5	10	15	21		yi	3	3,5	3,67	3,75	3,8

15.	xi	1	2	3	4	5	16.	xi	1	2	3	4	5
	yi	0,25	0,09	0,07	0,05	0,04		yi	0,25	0,111	0,071	0,053	0,042

17.	xi	1	2	3	4	5	18.	xi	1	2	3	4	5
	yi	0,20	0,28	0,33	0,36	0,38		yi	4,8	5,76	6,912	8,294	9,95

19.	xi	1	2	3	4	5	20.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1	3,08	4,3	5,16	5,83		yi	0,33	0,5	0,6	0,67	0,71

21.	xi	1	2	3	4	5	22.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1,5	1,75	1,83	1,87	1,9		yi	1	0,2	0,11	0,077	0,059

23.	xi	1	2	3	4	5	24.	xi	1	2	3	4	5
	yi	1	0,4	0,33	0,31	0,29		yi	2,25	3,37	5,06	7,59	11,4

Вид рабочего листа MS Excel.

Лабораторная работа № 10

"Метод наименьших квадратов"

Элементы теории.

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y :

xi	x1	x2	…	xm
yi	y1	y2	…	ym

Ставится задача об отыскании аналитической зависимости между x и y, то есть некоторой формулы y = f(x), явным образом выражающей y, как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = f(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек (x_i , y_i ). Поиск такой зависимости называют "сглаживанием" экспериментальных данных или "подгонкой" кривой.

Эту задачу можно решить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК указывается вид эмпирической формулы

y = Q(x, a₀ , a₁ , … , a_n),

где a₀ , a₁ , … , a_n – числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров a₀ , a₁ , … , a_n , которые обозначим , считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции y = Q(x, a₀ , a₁ , … , a_n) от экспериментальных точек (x_i , y_i ) , i = 1, 2, … , m является минимальной, то есть функция

в точке достигает минимума. Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров :

.

Если система имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой:

.

В общем случае система уравнений для определения оптимальных значений параметров нелинейна.

Рассмотрим аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами у = Q(x, ,  ). Используя необходимые условия экстремума функции двух переменных, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными  и :

.

В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:

.

Система уравнений для определения оптимальных параметров аппроксимирующей прямой в этом случае линейна относительно неизвестных k и b:

Ее решением является:

.

Пусть для переменных x и y соответствующие значения экспериментальных данных (x_i , y_i ) не располагаются вблизи прямой. Тогда можно выбрать новые переменные X =  (x, y) и Y =  (x, y) так, чтобы преобразованные экспериментальные данные X_i =  (x_i , y_i ) и Y_i =  (x_i , y_i ) в новой системе координат (X, Y) давали точки (X_i , Y_i ) , менее уклоняющиеся от прямой Y = kX + b. Числа k и b определяются по приведенным выше формулам, где вместо x_i и y_i подставляют соответствующие значения x_i и y_i. Функциональная зависимость y = f(x) определена неявно уравнением  (x, y) = k (x, y) + b, которое разрешимо относительно y в частных случаях.

Рассмотрим шесть вариантов преобразования переменных, в которых возможно явное выражение переменной y из уравнения  (x, y) = k (x, y) + b. В таблице приведены формулы преобразования переменных, явная эмпирическая формула y = f(x), зависящая от двух параметров  и , выражение этих параметров через коэффициенты, полученные с помощью МНК.

№	Выравнивание данных (преобразование переменных)	Эмпирическая формула
1.	X = x, Y = xy
2.
3.
4.
5.
6.

Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных данных от графика полученной зависимости, которое в каждом варианте выравнивания данных определяется величиной:

.

Для наилучшей эмпирической формулы величина d_j , j = 06 является наименьшей, j = 0 соответствует случаю, когда преобразования переменных не производится, то есть X_i = x_i и Y_i = y_i .

Качество подгонки данных к прямой можно оценить с помощью коэффициента регрессии:

.

Известно, что | r |  1. Чем ближе | r | к единице, тем ближе зависимость между X и Y к линейной функциональной.

Естественно, что если не удается удовлетворительно построить функциональную зависимость, используя вид эмпирической формулы с двумя параметрами, то можно продолжать поиски среди формул с большим числом параметров.