- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Варианты.
Построить кубический сплайн, интерполирующий заданную функцию на отрезке [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04 при краевых условиях I и II типа. Найти значения сплайна в точках от х = 1 до точки х=1,2 с шагом х = 0,01. Получить оценку точности сплайн-интерполяции и сравнить ее с фактической погрешностью вычислений.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Функция |
e x |
e –x |
sh x |
ch x |
sin x |
cos x |
ln x |
1/x |
Вариант |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Функция |
e 2x |
e –2x |
sh 1,5x |
ch 2x |
sin 2x |
cos 2x |
ln 2x |
2/x |
Вариант |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
Функция |
e 3x |
e –3x |
sh 3x |
ch 3x |
sin 3x |
cos 3x |
ln 3x |
3/x |
Вид расчетного листа MS Excel.
Лабораторная работа № 13
"Численное дифференцирование"
Элементы теории.
Пусть отрезок [a, b] разбит на n равных частей точками xi : a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. Разность между соседними значениями аргумента постоянна, то есть шаг h = xi – xi-1 = const ( i = 1, 2, … , n). Пусть на отрезке [a, b] определена функция y = f(x), значения которой в точках xi равны yi = f(xi).
Первая производная функции в точке xi с помощью отношения конечных разностей выражается следующим образом:
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей):
...xми на ок и.ные аппроксимации производных"
, (1)
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей):
...xми на ок и.ные аппроксимации производных"
, (2)
в) аппроксимация с помощью центральных разностей:
...xми на ок и.ные аппроксимации производных"
. (3)
Аппроксимация производных с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое соотношений (1) и (2) в точках xi , i = 1, … , n-1. Соотношения (1) и (3) не позволяют вычислить производную в точке xn = b, а (2) и (3) - в точке x0 = а. Можно показать, что для функции y = f(x), имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперед и назад имеет один и тот же порядок O(h), а погрешность аппроксимации центральными разностями (3) для функции y = f(x), имеющей непрерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок O(h2).
Приближенное значение производной второго порядка в точке xi выразим через значения функции yi-1 , yi , yi+1 .Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:
,
а производные первого порядка и - с помощью левых разностей:
и окончательно получим
. (4)
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок O(h2) для функции y = f(x), имеющей непрерывную производную до четвертого порядка включительно на отрезке [a, b]. Данная формула позволяет вычислять значения второй производной только во внутренних точках отрезка.
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и точках xi , i = 0, 1, …, n принимает значения yi = f(xi). Разность между соседними значениями аргумента xi постоянна и является шагом h = xi – xi-1 , i = 1, …, n разбиения отрезка на n частей, причем a = x0 , b = xn .
Найдем аппроксимации 1-го и 2-го порядков с помощью значений функции yi в узловых точках xi с погрешностью одного и того же порядка в зависимости от шага h, причем этот порядок не ниже, чем достигаемый при конечно-разностной аппроксимации производных для того же шага. Для того, чтобы выразить значения производных через значения функции yi в узлах интерполяции xi , построим интерполяционный многочлен Лагранжа Lm(x) степени m, удовлетворяющий условиям:
Lm(xk) = f(xk) = yk , k = i, i+1, … , i+m, i+m n.
Многочлен Lm(x) интерполирует функцию f(x) на отрезке [xi , xi+m ]. Дифференцируя многочлен Lm(x), получаем значения производных в точках xk , k = i, i+1, … , i+m.
Если m = 1, то L1(x) – линейная функция, график которой проходит через точки (xi , yi ) и (xi+1 , yi+1 ). Тогда
,
.
Если m = 2, то график интерполяционного многочлена Лагранжа L2(x) – парабола, проходящая через три точки (xi , yi ), (xi+1 , yi+1 ), (xi+2 , yi+2 ). Вычислим 1-ю и 2-ю производные многочлена L2(x) на отрезке [xi , xi+2 ]:
.
Первая и вторая производные многочлена Лагранжа L2(x) в точках xi , xi+1, xi+2 являются приближениями соответствующих производных функции f(x) в этих точках:
,
, (5)
,
. (6)
Если функция f(x) на отрезке [xi , xi+2 ] имеет непрерывную производную до третьего порядка включительно, то справедливо представление функции в виде суммы:
f(x) = L2 (x) + R2 (x), (7)
где R2 (x) – остаточный член интерполяционной формулы, равный:
.
Дифференцируем (7):
, (8)
. (9)
Здесь:
(10)
. (11)
Погрешности при вычислении производных в точках xi , xi+1, xi+2 определяются из формул (10)-(11) следующими значениями остатков:
, (12)
. (13)
Таким образом, равенства (12) показывают, что погрешности аппроксимации 1-й производной с помощью формул (5) имеют один и тот же порядок O(h2), и предлагается следующая рекомендация по их применению на отрезке [a, b] в точках xi , i = 0, 1, …, n при n 2:
,
, (14)
.
Оценка погрешности вычисления первой производной производится по формулам:
. (15)
Из равенств (13) следует, что приближение второй производной с помощью формулы (6) имеет различный порядок в зависимости от h в разных точках: в точках xi , xi+2 имеется погрешность порядка h, а в точке xi+1 порядок погрешности выше, так как .
В случае интерполяции функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывную производную до четвертого порядка включительно, можно получить погрешность интерполяции второй производной, имеющую порядок h2 и одинаковую во всех точках, с помощью многочлена Лагранжа третьей степени L3(x) по четырем узлам интерполяции xk , k = i, i+1, i+2, i+3. Аппроксимация второй производной в этом случае имеет вид:
,
,
, (16)
.
При вычислении производной второго порядка на отрезке [a, b] в точках xi , i = 0, 1, …, n при n 3 используются формулы:
,
, (17)
.
Если функция f(x) на отрезке [xi , xi+m ] имеет непрерывную производную до (m+1)-го порядка включительно, то справедливо представление функции в виде:
f(x) = Lm (x) + Rm (x),
где Lm (x) – интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, аппроксимирующий функцию f(x) по узлам интерполяции xk , k = i, i+1, … , i+m , Rm (x) – остаточный член интерполяционной формулы, причем:
В частности, для интерполяционного многочлена Лагранжа L3 (x) степени 3 остаточный член R3 (x) имеет вид:
. (18)
Дважды продифференцируем R3 (x):
(19)
Погрешности при вычислении вторых производных в точках xi , xi+1, xi+2 , xi+3 , определяются из формулы (19) следующими значениями остатков:
(20)
Тогда оценка погрешности вычисления второй производной по формулам (17) имеет вид:
(21)