Типовой отчет.
Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию y = sh 2x на отрезке [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04 при краевых условиях I и II типа. Найти значения сплайна в точках от х = 1 до точки х=1,2 с шагом х = 0,01. Получить оценку точности сплайн-интерполяции и сравнить ее с фактической погрешностью вычислений.
1. Вычислим производные:
.
Вычислим максимальный модуль производной 3-го порядка функции f(x) на отрезке [1; 1,2 ]. Так как функция гиперболического косинуса является положительной возрастающей функцией на отрезке [1; 1,2 ], то:
,
Тогда погрешности интерполяционных формул будут равны:
.
2. Проводим вычисления для сплайн-интерполяции с краевыми условиями I типа.
Таблица расчета производных в узловых точках.
|
Исходные данные |
Прямая прогонка |
Обратная прогонка |
|||
i |
xi |
yi |
bi |
Li |
Mi |
mi |
0 |
1 |
3.62686 |
7.524391382 |
0 |
7.524391 |
7.5243914 |
1 |
1.04 |
3.939769 |
48.82843956 |
-0.25 |
10.32601 |
8.1293968 |
2 |
1.08 |
4.277906 |
52.77502804 |
-0.26667 |
11.31974 |
8.7864609 |
3 |
1.12 |
4.643436 |
57.05955686 |
-0.26786 |
12.25174 |
9.4997878 |
4 |
1.16 |
5.0387 |
61.70946166 |
-0.26794 |
13.25183 |
10.273945 |
5 |
1.2 |
5.466229 |
11.11389433 |
|
|
11.113894 |
3. Расчет значений сплайна приведен в таблице.
-
xi
S(x)
f(x)
dф
1
3.62686
3.62686
6.21725E-15
1.01
3.702835
3.702835
2.21603E-07
1.02
3.78029
3.78029
3.918E-07
1.03
3.859258
3.859258
2.14875E-07
1.04
3.939769
3.939769
6.66134E-15
1.05
4.021856
4.021857
2.5465E-07
1.06
4.105552
4.105553
4.39829E-07
1.07
4.190891
4.190891
2.4086E-07
1.08
4.277906
4.277906
7.10543E-15
1.09
4.366632
4.366632
2.7341E-07
1.1
4.457105
4.457105
4.75035E-07
1.11
4.549361
4.549361
2.60847E-07
1.12
4.643436
4.643436
7.99361E-15
1.13
4.739369
4.739369
2.94761E-07
1.14
4.837198
4.837198
5.11055E-07
1.15
4.936962
4.936962
2.7832E-07
1.16
5.0387
5.0387
4.70735E-14
1.17
5.142454
5.142454
3.30555E-07
1.18
5.248265
5.248266
5.749E-07
1.19
5.356176
5.356176
3.21851E-07
1.2
5.466229
5.466229
9.76996E-15
Фактическая погрешность на 4 порядка меньше теоретической. Отличие от нуля фактической погрешности в узловых точках объясняется округлением результата в последнем разряде разрядной сетки.
4. Проводим вычисления для сплайн-интерполяции с краевыми условиями II типа.
Таблица расчета производных в узловых точках.
|
Исходные данные |
Прямая прогонка |
Обратная прогонка |
|||
I |
xi |
yi |
bi |
Li |
Mi |
ni |
0 |
1 |
3,62686 |
14,50744163 |
0 |
14,50744 |
14,507442 |
1 |
1,04 |
3,939769 |
94,60490423 |
-0,25 |
20,02437 |
15,748657 |
2 |
1,08 |
4,277906 |
102,7245193 |
-0,26667 |
22,05337 |
17,102833 |
3 |
1,12 |
4,643436 |
111,5019221 |
-0,26786 |
23,95943 |
18,56453 |
4 |
1,16 |
5,0387 |
120,9933178 |
-0,26794 |
25,99951 |
20,140968 |
5 |
1,2 |
5,466229 |
21,86491685 |
|
|
21,864917 |
5. Расчет значений сплайна приведен в таблице.
-
xi
S(x)
f(x)
dф
1
3,62686
3,62686
2,66454E-15
1.01
3,702834
3,702835
7,82876E-07
1.02
3,780289
3,78029
9,74459E-07
1.03
3,859257
3,859258
5,27591E-07
1.04
3,939769
3,939769
3,55271E-15
1.05
4,021857
4,021857
9,62726E-08
1.06
4,105553
4,105553
2,68738E-07
1.07
4,190891
4,190891
1,42602E-07
1.08
4,277906
4,277906
3,55271E-15
1.09
4,366632
4,366632
3,45649E-07
1.1
4,457105
4,457105
5,7674E-07
1.11
4,549361
4,549361
3,41166E-07
1.12
4,643436
4,643436
3,55271E-15
1.13
4,739369
4,739369
1,64183E-07
1.14
4,837198
4,837198
2,75326E-07
1.15
4,936962
4,936962
5,53042E-08
1.16
5,0387
5,0387
2,39808E-14
1.17
5,142454
5,142454
7,80627E-07
1.18
5,248264
5,248266
1,41611E-06
1.19
5,356175
5,356176
1,1336E-06
1.2
5,466229
5,466229
4,44089E-15
Фактическая погрешность на 3-4 порядка меньше теоретической. Отличие от нуля фактической погрешности в узловых точках объясняется округлением результата в последнем разряде разрядной сетки.