Типовой отчет.

1. Функция f(x) определена таблицей

xi	1	2	3	4	5
yi	2	2,69	3,1	3,39	3,61

Требуется аппроксимировать функцию у = f(x) алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Q_n(x), n = 0  4 и оценить погрешности каждого приближения.

2. Вычисляем значения многочленов Чебышева в заданных точках x_i , i = 1, … , 5 по формулам:

где ,

Квадраты норм многочленов Чебышева вычисляются по формуле:

.

Коэффициенты Фурье аппроксимационных многочленов вычисляются по формуле:

.

Результаты расчетов приведены в 2-х таблицах.

xi	1	2	3	4	5
yi = f(xi)	2	2.69	3.1	3.39	3.61
go(xi)	1	1	1	1	1
g1(xi)	-2	-1	0	1	2
g2(xi)	2	-1	-2	-1	2
g3(xi)	-1.2	2.4	0	-2.4	1.2
g4(xi)	0.342857	-1.37143	2.057143	-1.37143	0.342857
g2o(xi)	1	1	1	1	1
g21(xi)	4	1	0	1	4
g22(xi)	4	1	4	1	4
g23(xi)	1.44	5.76	0	5.76	1.44
g24(xi)	0.117551	1.880816	4.231837	1.880816	0.117551

k	0	1	2	3	4
	5	10	14	14.4	8.228571
ak		3	3	3	3
bk			2	1.4	1.028571
Сk	2.958	0.392	-0.07571	0.0175	-0.00458

3. Значения многочленов наилучшего приближения вычисляем по формуле:

xi	1	2	3	4	5
Qo(xi)	2.958	2.958	2.958	2.958	2.958
Q1(xi)	2.174	2.566	2.958	3.35	3.742
Q2(xi)	2.022571	2.641714	3.109429	3.425714	3.590571
Q3(xi)	2.001571	2.683714	3.109429	3.383714	3.611571
Q4(xi)	2	2.69	3.1	3.39	3.61

4. Квадрат нормы функции f(x) : .

5. Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения аппроксимационных многочленов:

.

Оценка точности полученных приближений:

Результаты расчетов представлены в таблице.

k	0	1	2	3	4
	1.62148	0.08484	0.004583	0.000173	4.92E-15
	0.189047	0.043243	0.01005	0.001952	1.04E-08

Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения Q₄(x) проходит через все пять заданных точек функции, так как является многочленом 4-го порядка. Поэтому можно графически оценивать точность полученных приближений меньших порядков по расхождению их графиков с графиком функции Q₄(x) = f(x).