- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Варианты.
Для заданных функций построить интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [1; 1,2 ] по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек и вычислить его значения на отрезке [1; 1,2 ] с шагом х = 0,01. Оценить в этих точках погрешность расчета, вычислить точные значения функции f(x) и определить фактическую погрешность.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Функция |
e x |
e –x |
sh x |
ch x |
sin x |
cos x |
ln x |
1/x |
Вариант |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Функция |
e 2x |
e –2x |
sh 1,5x |
ch 2x |
sin 2x |
cos 2x |
ln 2x |
2/x |
Вариант |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
Функция |
e 3x |
e –3x |
sh 3x |
ch 3x |
sin 3x |
cos 3x |
ln 3x |
3/x |
Вид рабочего листа MS Excel.
Лабораторная работа № 12
"Сплайн-интерполяция"
Элементы теории.
Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками xi : a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. Сплайном k-ой степени называется функция, представляющая собой многочлен k-ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов (xi-1 ; xi ), i = 1, 2, … , n, причем в точках стыка двух интервалов xi , i = 1, 2, … , n-1 функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше k.
Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x), значения которой в точках xi равны yi = f(xi). Задача интерполяции функции y = f(x) на отрезке [a, b] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции Si(x), равной многочлену 3-ей степени на каждом отрезке [xi-1 , xi ] , i = 1, 2, … , n, то есть
, (1)
причем значения сплайна в узлах интерполяции xi равны соответствующим значениям заданной функции yi и сплайн-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными 1-го и 2-го порядка:
(2)
(3)
Условия (2) дают 4n-2 линейных алгебраических уравнения для определения 4n неизвестных коэффициентов , p = 0, 1, 2, 3, i = 1, 2, … , n при соответствующих степенях х в многочленах Si(x). Можно показать, что интерполяционный кубический сплайн для функции y = f(x) существует и является единственным, если вместе с уравнениями (2) удовлетворяется какая-либо пара дополнительных условий (краевых условий) следующего типа:
I. ,
II. .
Рассмотрим случай разбиения отрезка[a, b] на n равных частей с шагом h, для которого x0 = a, x1 = x0 + h, … , xi+1 = xi + h, … , xn = b и h = (b – a)/n. Рассмотрим построение интерполяционного кубического сплайна для условий I типа.
Введем величины , называемые иногда наклонами сплайна в точках (узлах) xi , i = 1, 2, … , n.
Интерполяционный кубический сплайн вида:
(4)
удовлетворяет условиям (2) для любых mi . Из условий (3) и краевых условий I типа можно определить n+1 параметр mi .
Действительно, прямыми вычислениями легко проверить, что
,
.
Можно показать, что
,
.
Тогда, учитывая краевые условия I типа и условия (3), получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных mi :
(5)
Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных mi и определить интерполяционный сплайн в виде соотношений (4). Матрица коэффициентов системы (5) имеет порядок n+1 и является трехдиагональной:
.
Метод Гаусса (метод исключения переменных) для системы (5) значительно упрощается и носит название метода прогонки. Прямой прогонкой находят так называемые прогоночные коэффициенты:
,
Обратной прогонкой последовательно определяют неизвестные mi :
При построении сплайна, удовлетворяющего краевым условиям II типа, введем величины - значение второй производной сплайна в узлах xi , i = 0, 1, … , n. Уравнения (2), (3) будут удовлетворены, если интерполяционный кубический сплайн представить в виде:
, (6)
.
Учитывая, что
и используя краевые условия II типа и условия равенства производных в узлах. получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных ni :
(7)
Система (7), как и система (5), относятся к линейным алгебраическим системам с трехдиагональной матрицей коэффициентов и решаются методом прогонки.
Для функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывные производные до 3-го порядка включительно, точность интерполяции ее кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых рассмотренных краевых условиях оценивается следующим неравенством для любых х на отрезке [a, b] :
, где . (8)
Неравенство (8) дает завышенную оценку точности приближения функции сплайном в точке.