- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Порядок выполнения лабораторной работы.
Пример. Функция y = f(x) = sh 2x определена на отрезке [1; 1,2]. Выбрав шаг h=0,05 найти значения производных и в узловых точках со вторым порядком аппроксимации. Оценить погрешность вычислений. Сравнить результаты с точным решением.
Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.
1. Так как h=0,05 , то задано 5 узловых точек: x0 = 1,0 ; x1 = 1,05 ; x2= 1,1; x3 = 1,15 ; x4 = 1,2.
Перед началом расчетов вычислим необходимые производные функции f(x) = sh 2x:
.
Так как функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса являются возрастающими положительными на отрезке [1; 1,2], то оценки погрешностей вычислений при расчете первых и вторых производных равны (учитывая, что максимум производных достигается в точке х=1,2):
,
.
2. В диапазоне А2:А11 размещаем заголовки строк.
3. В диапазон B2:F2 заносим абсциссы узловых точек xi , i =0, … , 4; ячейка В2=”1”, ячейка С2=”1.05” и протягиваем диапазон B2:C2 до ячейки F2. Вычисляем значения функции f(x) = sh 2x в узлах: ячейка В3 = "=SINH(2*B2)" и протягиваем формулу на диапазон С3:F3.
4. Вычисляем значение первой производной. В узле х0 используем формулу : ячейка В4="=(-3*B3+4*C3-D3)/0.1". В узлах xi , i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С4 = "=(-B3+D3)/0.1" и протягиваем формулу в диапазон D4:E4. В узле х4 используем формулу : ячейка F4="=(D3-4*E3+3*F3)/0.1".
5. Вычисляем значение
второй производной. В узле х0
используем формулу
:
ячейка В5="оройтягиваеи
формулу в диапазон водной. В узле
6. Вычисляем погрешности вычислений первой производной. В узле х0 используем формулу : ячейка В6= "=0.0025*8*COSH(2.4)/3". В узлах xi , i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С6 = "=0.0025*8*COSH(2.4)/6" и протягиваем формулу в диапазон D6:E6. В узле х4 используем формулу : ячейка F6="=0.0025*8*COSH(2.4)/3".
7. Вычисляем погрешности вычислений второй производной. В узле х0 используем формулу : ячейка В7= "=11*0.0025*16*SINH(2.4)/12". В узлах xi , i=1, 2, 3 используем формулу : ячейка С7 = "=0.0025*16*SINH(2.4)/12" и протягиваем формулу в диапазон D7:E7. В узле х4 используем формулу : ячейка F7= "=11*0.0025*16*SINH(2.4)/12".
8. Вычисляем фактические значения первой производной по формуле : ячейка В8 = "=2*COSH(2*B2)" и протягиваем формулу в диапазон C8:F8. Вычисляем фактические значения второй производной по формуле : ячейка В9 = "=4*SINH(2*B2)" и протягиваем формулу в диапазон C9:F9.
9. Вычисляем фактические погрешности вычислений первой производной по формуле : ячейка В10 = "=ABS(B4-B8)" и протягиваем формулу в диапазон C10:F10. Вычисляем фактические погрешности вычислений второй производной по формуле : ячейка В11 = "=ABS(B5-B9)" и протягиваем формулу в диапазон C11:F11.
Результаты расчетов показывают, что фактические погрешности вычислений производных меньше их теоретических оценок.