- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Электростатическое поле в вакууме
- •. Закон сохранения электрического заряда
- •1.2. Закон Кулона
- •1.3. Напряженность электрического поля
- •1.4. Потенциал электрического поля
- •1.5. Поле электрического диполя в вакууме
- •1.6. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в вакууме
- •1.6.1. Электростатическое поле заряженной сферы
- •1.6.2. Электростатическое поле заряженного шара
- •1.6.3. Электростатическое поле заряженной бесконечной плоскости
- •1.6.4. Электростатическое поле заряженного бесконечно длинного цилиндра
- •Глава 2. Электростатическое поле в диэлектриках
- •2.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика
- •2.1.1. Неполярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле
- •2.1.2. Полярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле
- •2.2. Поляризация диэлектриков
- •2.3. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде
- •2.4. Закон Кулона для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде
- •2.5. Условие для электростатического поля на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
- •2.6. Сегнетоэлектрики
- •Глава 3. Проводники в электростатическом поле
- •3.1. Распределение зарядов в проводнике
- •3.2. Электрическая емкость уединенного проводника
- •3.3. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы
- •3.4. Энергия заряженных проводников и электростатического поля
- •Глава 4. Электрический ток в металлах, растворах электролитов и газах
- •4.1. Классическая теория электропроводности металлов
- •4.2. Законы постоянного тока в проводниках
- •4.2.1. Закон Ома для полной цепи
- •4.2.2. Правила Кирхгофа
- •4.3. Постоянный ток в жидкостях (растворах электролитов)
- •4.4. Постоянный ток в газах
- •Глава 5. Электрический ток в вакууме
- •5.1. Работа выхода электрона из металла
- •5.2. Электронно-вакуумный диод
- •5.3. Электронно-вакуумный триод
- •Глава 6. Переходные процессы в rc-цепях
- •6.1. Заряд и разряд конденсатора
- •6.2. Конденсатор в цепи гармонического переменного тока
- •Приложение некоторые сведения из разделов математики
- •Комплексная арифметика
1.6. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в вакууме
Вычисление напряженностей простейших электростатических полей, генерируемых точечными зарядами решается в рамках закона Кулона. Однако вычисление напряженности электростатического поля, генерируемого телом конечных геометрических размеров в рамках применимости закона Кулона, задача трудоемкая. Решение этой задачи для электростатического поля в вакууме дает теорема Гаусса-Остроградского, которая формулируется следующим образом: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через любую произвольно замкнутую поверхность равен сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, отнесенной к диэлектрической проницаемости вакуума. Математически теорема Гаусса-Остроградского записывается следующим образом:
. |
(18) |
Применим теорему Гаусса-Остроградского к вычислению напряженностей электрического поля, генерируемых простейшими телами.
1.6.1. Электростатическое поле заряженной сферы
Сфера, представляет собой тонкую оболочку радиуса R, натянутую на шар. Внутри сферы и за ней вакуум. Пусть сфера заряжена до заряда Q. Гауссову поверхность удобно взять в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере, изображенных на рис.3, поскольку система зарядов на сфере центральносимметрична.
Внутри сферы, при r<R, зарядов нет, поэтому теорема Гаусса для этого случая запишется:
. |
|
За сферой, при R>r, находится единственный заряд сферы Q и в силу центральносимметричности электростатического поля:
при r>R. |
|
Видно, что формула напряженности электрического поля за сферой подобна формуле (7) напряженности поля точечного заряда.
r
Q
r
Рис.3. Пояснение к вычислению напряженности электрического поля, заряженной сферы
Получили, что внутри заряженной сферы электрическое поле отсутствует. Этот факт, можно использовать для защиты (экранировки) от электрических полей. Применяя связь между потенциалом и напряженностью электрического поля (13), вычислим потенциал поля сферы:
|
|
1.6.2. Электростатическое поле заряженного шара
Пусть шар, радиуса R несет на себе равномерно распределенный по объему заряд Q. Тогда, аналогично, как и для сферы, запишем теорему Гаусса-Остроградского внутри и за шаром. Внутри шара:
. |
|
После приравнивания левой и правой частей теоремы Гаусса имеем:
. |
|
За шаром, напряженность электрического поля эквивалентна напряженности за сферой и вычисляется точно также, как и для сферы:
при r>R. |
|
В силу (13), потенциал поля заряженного шара, будет равен:
. |
|