- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Электростатическое поле в вакууме
- •. Закон сохранения электрического заряда
- •1.2. Закон Кулона
- •1.3. Напряженность электрического поля
- •1.4. Потенциал электрического поля
- •1.5. Поле электрического диполя в вакууме
- •1.6. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в вакууме
- •1.6.1. Электростатическое поле заряженной сферы
- •1.6.2. Электростатическое поле заряженного шара
- •1.6.3. Электростатическое поле заряженной бесконечной плоскости
- •1.6.4. Электростатическое поле заряженного бесконечно длинного цилиндра
- •Глава 2. Электростатическое поле в диэлектриках
- •2.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика
- •2.1.1. Неполярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле
- •2.1.2. Полярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле
- •2.2. Поляризация диэлектриков
- •2.3. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде
- •2.4. Закон Кулона для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде
- •2.5. Условие для электростатического поля на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
- •2.6. Сегнетоэлектрики
- •Глава 3. Проводники в электростатическом поле
- •3.1. Распределение зарядов в проводнике
- •3.2. Электрическая емкость уединенного проводника
- •3.3. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы
- •3.4. Энергия заряженных проводников и электростатического поля
- •Глава 4. Электрический ток в металлах, растворах электролитов и газах
- •4.1. Классическая теория электропроводности металлов
- •4.2. Законы постоянного тока в проводниках
- •4.2.1. Закон Ома для полной цепи
- •4.2.2. Правила Кирхгофа
- •4.3. Постоянный ток в жидкостях (растворах электролитов)
- •4.4. Постоянный ток в газах
- •Глава 5. Электрический ток в вакууме
- •5.1. Работа выхода электрона из металла
- •5.2. Электронно-вакуумный диод
- •5.3. Электронно-вакуумный триод
- •Глава 6. Переходные процессы в rc-цепях
- •6.1. Заряд и разряд конденсатора
- •6.2. Конденсатор в цепи гармонического переменного тока
- •Приложение некоторые сведения из разделов математики
- •Комплексная арифметика
Приложение некоторые сведения из разделов математики
Выбор системы координат и некоторые действия над векторами
Для математического нахождения положения точки в пространстве строится прямоугольная система координат, введенная Р.Декартом. Все три оси в декартовый системе координат взаимно перпендикулярны. Оси координат обозначают: x, y, z. Возможны два варианта ориентации осей координат –правовинтовая и левовинтовая. Правовинтовая декартова система координат построена так, что ось z имеет положительные направления в направлении закручивания правого винта от оси x к оси y по минимальному (прямому) углу. В зависимости от выбора направлений осей, некоторые операции над векторами, в частности векторное произведение, меняются по знаку на противоположный. Все дальнейшие определения приводятся к правовинтовой системе координат.
Единичные отрезки, отсекаемые на осях координат называются ортами осей координат и обозначаются i, j и k. Орты осей координат являются единичными векторами, направленными по направлению оси. Радиус-вектор , проведенный из начала координат, определяется его проекциями на координатные оси x,y и z, следующим образом: .
Вектором, называется направленный отрезок прямой. Скаляром называется любая не векторная величина, имеющая только значение. Координаты вектора , через его конец и начало , определяются: . Модуль или длина вектора , равна .
Над векторами разрешены операции сложения и умножения. Пусть заданы векторы и , тогда:
.
Операций умножения две: скалярная, обозначаемая или , и векторная – или :
.
Направление вектора выбирается в сторону, куда по минимальному углу от вектора к вектору закручивается правый винт.
Смешанное векторное произведение .
Пусть в пространстве задано векторное поле , то можно вычислить градиент, дивергенцию и ротор векторного поля. Вектор градиента показывает направление возрастания функции , т.е. направление кратчайшего хода к вершине горы функции. Дивергенция вектора, показывает скорость нарастания функции, т.е. как долго мы пойдем к вершине с постоянной скоростью. Ротор вектора, показывает, направление возможных отклонений на пути к вершине.
Градиент вектора:
Дивергенция вектора:
где V – объем, ограниченный замкнутой поверхностью, площадью S
Ротор вектора:
Оператор Гамильтона или набла-оператор: .
Тогда:
(действие оператора на вектор);
(скалярное произведение);
(векторное произведение).
Правила дифференцирования и интегрирования
Если , и , то справедливы следующие выражения дифференцирования:
.
Дифференцирование векторного произведения производится по правилу:
.
Если , и , то справедливы следующие выражения интегрирования:
.
Комплексная арифметика
Мнимой, или комплексной единицей называют число , получаемое при решении уравнения .
С введением комплексного числа, можно любое число z на множестве всех чисел представить в виде:
,
где Re – действительная часть числа, а Im – мнимая.
Число называют комплексно сопряженным числу z.
Квадратом модуля комплексного числа, по аналогии с квадратом модуля вектора, называют величину:
.
Из определения квадрата модуля комплексного числа, легко доказать формулу Эрланга:
,
где x – любое действительное число, а z – комплексное.
Докажем это, вычисляя квадрат модуля комплексного числа:
Применяя определения комплексного числа и формулу Эрланга можно доказать:
, где – константы, или:
и