http://emb.ustu.ru/kurs/tau/files/lec_tz.htm

http://www.б170.su/2009/01/23/minimalno-fazovye-i-neminimalno-fazovye-zvenja.html

http://emb.ustu.ru/kurs/tau/files/lec_tz.htm

http://chitalky.ru/?p=7593

http://studopedia.net/10_62869_otsenka-tochnosti-sar-v-ustanovivshemsya-rezhime.html

http://automation-system.ru/main/item/67-tipovye-zvenya-sistem-regulirovaniya.html

Будем использовать следующие обозначения: входная величина звена – x(t), выходная величина – y(t).

 

 

 

 

Пропорциональное звено (другое название – безынерционное звено).

 

Передаточная функция: W(p)=K

Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена.

 

Уравнение звена: y(t)=К·x(t)

Пропорциональное звено – статическое, уравнение не содержит производных.

 

Статическая характеристика: y_ст=W(0)·x_ст=K·x_ст

Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K).

 

 

 

 Переходная функция: h(t)=K·1(t)

Переходная функция совершает скачок от 0 до К в момент времени t=0.

 

 

  ЛАЧХ: L(ω)=20·lg(K)

ЛАЧХ не зависит от частоты. При любой частоте гармонического воздействия звено изменяет амплитуду в К раз, т.е. на 20·lg(K) децибел.

 

ЛФЧХ: φ(ω)=0

ЛФЧХ не зависит от частоты. Звено не вносит фазовый сдвиг при любой частоте гармонического воздействия.

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры пропорциональных звеньев

 

Электронный усилитель

 

 

 

 

 

 

Уравнение усилителя: u₂=Ku₁, где К – коэффициент усиления.

 

Замечание. Представление усилителя пропорциональным звеном всегда является идеализированным. Реальный усилитель не может пропускать сигналы всех частот одинаково, с увеличением частоты входного напряжения коэффициент усиления реального усилителя будет уменьшаться, однако в широкой полосе частот это уменьшение незначительно и его можно не учитывать.

 

Механический редуктор

 

  

  Уравнение редуктора: ω₂=Kω₁, где К – передаточное отношение редуктора.

 

Замечание. Представление редуктора пропорциональным звеном всегда является идеализированным, т.к. не учитывается упругие деформации валов и шестерен (они предполагаются абсолютно жесткими), а также зазоры в зубчатых передачах.

 

 

Интегрирующее звено

 

Передаточная функция:

.

 

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:

,

где Т – постоянная времени (в секундах).

 

Уравнение звена:

или .

Выходная величина пропорциональна интегралу входной величины.

 

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст, где W(0) = ∞

Это значит, что статический режим невозможен при x_ст0, т.к. звено непрерывно интегрирует входную величину и выходная величина непрерывно изменяется. Статический режим возможен только при x_ст=0, когда интегрирование прекращается. Таким образом, статическая характеристика совпадает с осью y.

 

 

 

 Переходная функция: h(t)=K·t·1(t)

Ее значение линейно нарастает во времени (теоретически до бесконечности). Скорость нарастания переходной функции равна коэффициенту К.

 

 

 

Весовая функция: g(t)=K·1(t)

Интегрирующее звено обладает способностью сохранять постоянное не равное нулю значение выходной величины при равенстве нулю входной величины.

 

 

  

Пример: реакция интегрирующего звена на сложное ступенчатое воздействие.

 

 

 

 

 ЛАЧХ:

 

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном –20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ уменьшается.

При ω<K, L>0 – звено усиливает амплитуду.

При ω=K, L=0 – амплитуды входной и выходной величины одинаковы.

При ω>K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

 

ЛФЧХ: φ(ω)= – 90˚ = – π/2 рад

Интегрирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит отставание по фазе на четверть периода.

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена для К>1.

 

 

 

 

 

 

Примеры интегрирующих звеньев

 

Гидравлический демпфер

 

 

  Скорость движения поршня будет пропорциональна силе: , следовательно, перемещение поршня будет пропорционально интегралу силы: . Коэффициент К – зависит от конструкции демпфера и вязкости жидкости.

 

Замечание. Такое математическое описание допустимо, только если пренебречь механической инерцией поршня, силами трения между поршнем и стенками и рядом других факторов.

 

Механическая часть электропривода

 

 

 М – электромагнитный момент двигателя, М_с – момент статического сопротивления механизма на валу двигателя, ω – угловая скорость вала двигателя.

 

Скорость двигателя пропорциональна интегралу разности моментов М и М_с, которая называется динамическим моментом: М_дин = М–М_с.

,

где J_Σ – суммарный момент инерции механической части электропривода. Таким образом, моделью механической части электропривода является интегрирующее звено.

 

 

 Замечание. Такое представление допустимо, только если пренебречь упругими деформациями валов и других элементов механической части, а также, если момент инерции не зависит от скорости и от угла поворота (для кривошипно-шатунного механизма, у которого момент инерции является переменной величиной, эта модель не подходит).

 

Дифференцирующее звено

 

Передаточная функция:

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:, где Т – постоянная времени (в секундах). Дифференцирующее звено относится к идеальным звеньям (m>n).

Уравнение звена:

Выходная величина пропорциональна производной входной величины.

 

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= 0

В статическом режиме выходная величина всегда равна нулю (т.к. производная постоянной величины – ноль). Статическая характеристика совпадает с осью x.

 

 

 Переходная функция:

 

Это дельта-импульс с площадью К. При постоянной входной величине выходная величина дифференцирующего звена равна нулю.

 

 

  

Реакция на линейно нарастающее воздействие

При воздействии x(t)=t·1(t) реакция y(t)=K·1(t). При линейно изменяющейся входной величине выходная величина дифференцирующего звена постоянна.

 

 

 

 

 

  

Пример: реакция дифференцирующего звена на произвольное воздействие.

 

 

 ЛАЧХ: L(ω)= 20lg(Kω)=20lg(K)+20lg(ω)

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном +20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ возрастает.

При ω>1/K, L>0 – звено усиливает амплитуду.

При ω=1/K, L=0 – звено не изменяет амплитуду.

При ω<1/K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=1/К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

 

ЛФЧХ: φ(ω)= +90˚ = π/2 рад.

Дифференцирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит опережение по фазе на четверть периода.

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ для К<1.

 

 

Примеры дифференцирующих звеньев

Дифференцирующее звено является идеальным (физически нереализуемым) звеном. Это означает, что его нельзя реализовать искусственно. Однако такое звено может встретиться в модели объекта управления, когда две физические величины по своему определению связаны через производную.

Примером таких величин могут быть угол поворота вала двигателя α и угловая скорость ω. По определению угловая скорость является производной угла:

Поэтому угол поворота может рассматриваться как входная величина, а угловая скорость – как выходная величина дифференцирующего звена (в данном случае К=1).

 

 

 

Также дифференцирующие звенья могут использоваться в случаях, когда не учитывается какое-то существенное свойство рассматриваемого объекта (при идеализированном его представлении).

 

Рассмотрим идеальный конденсатор, обладающий только емкостью C и не обладающего активным сопротивлением R=0.

 

 Таким образом, модель идеального конденсатора будет дифференцирующим звеном с передаточной функцией W(p)=Cp.

 

 

 Апериодическое звено первого порядка (другое название – инерционное звено).

 

Передаточная функция: , где K – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени (измеряется в секундах).

 

Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение апериодического звена. По определению передаточной функции:

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= К·x_ст (как у пропорционального звена).

Переходная функция: . Зависимость h(t) – экспоненциальная.

 

  

 

При скачке воздействия выходная величина не может измениться скачком, а изменяется плавно по экспоненте, т.е. звено обладает инерцией. Отсюда происходит название звена – инерционное. Переходная функция возрастает монотонно, без колебаний. Отсюда происходит название звена – апериодическое (т.е. не имеющее периода, неколебательное).

Установившееся значение переходной функции равно коэффициенту К. Теоретически переходная функция будет бесконечно приближаться к значению K. На практике обычно считают, что переходный процесс закончился за время 3Т, когда переходная функция достигает значения 0,95К. Постоянная времени Т – это показатель инерционности звена. Чем больше Т, тем медленнее возрастает переходная функция и тем более инерционным является звено.

 

Весовая функция

Найдем ее как производную переходной функции:

Начальное значение весовой функции: g(0)=K/T.

Установившееся значение весовой функции: g(∞)=0.

 

 

 

 

Уравнение АЧХ и ФЧХ

Получим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ.

Частотная передаточная функция апериодического звена (после подстановки в передаточную функцию p=jω):

Таким образом, вещественная частотная характеристика:

Мнимая частотная характеристика:

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

 

АФЧХ

Годограф Найквиста для апериодического звена имеет вид полуокружности.

 

 

 

 

 

ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена для К>1.

 

 

 

 

 Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg(K) относительно оси частоты. При К=1 20lg(K)=0, т.е. первая прямая будет совпадать с осью частоты, при К>1 она расположена выше оси частоты, при К<1 – ниже оси частоты. Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном –20 дБ/дек (минус двадцать). Частота, на которой соединяются прямые с разными наклонами ω=1/Т, называется частотой сопряжения. На этой частоте будет наибольшее отличие точного графика ЛАЧХ от асимптотического (оно составляет около 3дБ).

Значения ЛФЧХ лежат в пределах 0…–π/2 рад (0…–90º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= –π/4 рад (–45º). В области низких частот ω<<1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K, в области высоких частот ω>>1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к интегрирующему звену W(p)=K/(Тр).

 

Примеры апериодических звеньев

 

Цепь якоря двигателя постоянного тока

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение якорной цепи (по 2-му закону Кирхгофа):

или

,

где – электромагнитная постоянная времени.

Входной величиной звена будем считать разность , а выходной величиной – ток якоря I_я. Запишем уравнение якорной цепи для изображений величин:

Находим передаточную функцию звена:

Получена передаточная функция апериодического звена. Коэффициентом К является величина – проводимость цепи якоря. Цепь якоря обладает электромагнитной инерцией, обусловленной ее индуктивностью.

 

Резистивно-емкостный фильтр низких частот

 

 

Входная величина звена – напряжение U₁, выходная величина звена – напряжение U₂.

 

 

Статический коэффициент передачи фильтра К=1, постоянная времени фильтра:

Т = RC.

При скачке входного напряжения U₁ выходное напряжение U₂ нарастает по экспоненте (по мере заряда конденсатора и снижения тока в цепи конденсатора) и стремится к значению входного напряжения.

Такой фильтр хорошо пропускает сигналы низких частот (при ω<<1/T значение АЧХ близко к единице) и подавляет сигналы высоких частот (при ω>>1/T значение АЧХ близко к нулю).

 

Механическая инерционная система (демпфер и пружина).

 

 

 

Корпус

закреплен

  

 

 

Входной величиной (воздействием) будем считать перемещение конца пружины x, а выходной величиной (реакцией) – перемещение поршня y. Тогда данную систему можно описать как апериодическое звено с единичным коэффициентом К=1.

 

 

 Постоянная времени Т=δ/с, где δ – коэффициент вязкого трения при движении поршня [Нс/м], с – коэффициент жесткости пружины [Н/м].

Если переместить конец пружины на некоторое расстояние, то поршень переместится на такое же расстояние, но не мгновенно, а за время примерно равное 3Т. Величина y будет изменяться во времени по экспоненте (см. переходную функцию апериодического звена).

При таком математическом описании не учитывается масса поршня (если поршень обладает значительной массой, то данная модель может оказаться неверной – переходные процессы будут колебательными).

 

 

Тепловая модель электродвигателя постоянного тока

 

Входная величина – квадрат тока обмотки якоряI²,

 

Выходная величина – температура двигателя.

 

  Двигатель обладает тепловой инерцией. При изменении тока температура изменяется не мгновенно, а по экспоненциальному закону.

 

 

 Статический коэффициент передачи К= RA^­­–1, где R – сопротивление обмотки якоря [Ом], А – теплоотдача в окружающую среду [Дж/с˚С]. Постоянная времени нагрева Т_н = С/А, где С – теплоемкость двигателя [Дж/ ˚С ].

 

 

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция: .

Это произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена. Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточная функция записывается в виде:

где Т₁ – постоянная времени дифференцирующей части, Т₂ – постоянная времени инерционной части.

 

Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена. По определению передаточной функции:

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: такая же, как у идеального дифференцирующего звена.

Переходная функция: h(t)= – такая же, как весовая функция апериодического звена.

 

 В отличие от идеального дифференцирующего звена у реального нет скачка до бесконечности при t=0. Инерционность сглаживает переходный процесс. Начальное значение h(0) = K/T. Чем меньше Т, тем ближе звено к идеальному. Установившееся значение переходной функции равно нулю (она асимптотически приближается к этому значению).