Применение форсирующих звеньев
Форсирующие звенья обычно искусственно вводят в автоматическую систему и включают последовательно с апериодическими звеньями для компенсации их инерционности и ускорения переходных процессов (такое ускорение называют форсировкой).
На практике могут быть созданы реальные форсирующие звенья с передаточной функцией:
,
где Т1 – постоянная времени форсирующей части, Т2 – постоянная времени инерционной части.
Рассмотрим последовательное включение реального форсирующего и апериодического звена (пусть К=1).
Пусть апериодическое звено обладает большой инерционностью, а инерционность реального форсирующего звена существенно меньше (Т2<<T1). Эквивалентная передаточная функция этих двух звеньев будет равна:
.
Получили передаточную функцию апериодического звена, но со значительно меньшей постоянной времени, чем у исходного апериодического звена. Таким образом, форсирующее звено своим действием как бы уменьшило инерционность исходного апериодического звена. Это свойство форсирующих звеньев часто используют в автоматических системах для повышения быстродействия.
Пример реального форсирующего звена
Следующая схема описывается как реальное форсирующее звено:
Колебательное звено
Передаточная
функция:
,
где К – статический коэффициент передачи [К=W(0)], Т – постоянная времени (единица измерения – секунды), μ – коэффициент демпфирования (безразмерная величина), находится в пределах 0<μ<1.
Свойства колебательного звена зависят от значения полюсов его передаточной функции, т.е. от корней уравнения:
.
При 0<μ<1 получим два комплексно-сопряженных корня.
,
где
,
.
Уравнение звена:
Переходная функция колебательного звена описывается формулой:
Колебательный
характер переходной функции определяется
наличием в ней периодических функций
синуса и косинуса. Колебания будут
затухать с течением времени, т.к. множитель
при этих функциях
уменьшается с увеличением времени и
стремится к нулю при (t→∞).
В автоматических системах различают свободные и вынужденные колебания. Вынужденные колебания выходной величины звена возникают из-за колебаний воздействия (например, при синусоидальном воздействии). Колебания переходной функции колебательного звена – это свободные колебания: воздействие на звено не периодическое, а колебания возникают из-за собственных колебательных свойств звена.
Можно сделать следующие выводы о виде переходной функции:
1) Установившееся значение переходной функции равно К:
.
2) Модуль мнимой части полюсов передаточной функции Ω представляет собой угловую частоту колебаний. Период колебаний равен 2π/ω.
3) Модуль действительной части полюсов передаточной функции α определяет скорость затухания колебаний. Чем больше α, тем быстрее затухают колебания. При одной и той же постоянной времени Т колебания будут затухать тем быстрее, чем больше значение коэффициента демпфирования μ.
Рассмотрим графики переходных функций колебательного звена при одних и тех же К и Т и разных коэффициентах демпфирования μ (0,7…0,1). Чем меньше μ тем выше амплитуда колебаний и больше время их затухания.
Амплитуда колебаний отсчитывается от уровня установившегося значения К. Отношение любых двух соседних полуволн колебаний всегда постоянно и равно:
.
Параметр λ называется декрементом затухания колебаний.
Рассмотрим вид переходной функции при граничных значениях коэффициента демпфирования μ=1 и μ=0.
При μ=1 мнимая часть полюсов обращается в ноль. Звено имеет два одинаковых действительных полюса. Это будет уже не колебательное звено, а апериодическое звено второго порядка. Переходная функция при μ=1 будет монотонной:
При μ=0 получим звено, называемое консервативным. Передаточная функция консервативного звена:
.
При μ=0 действительная часть полюсов передаточной функции оказывается равной нулю:
,
где
.
Поскольку α=0, множитель е–αt в переходной функции превращается в единицу. Колебания переходной функции консервативного звена будут незатухающими и продолжаются (теоретически) бесконечно долго. Угловая частота этих колебаний равна (1/Т), период колебаний равен (2πT). Амплитуда колебаний будет постоянна и равна К. Декремент затухания: λ=1.
