Лачх и лфчх
Рассмотрим точные (не асимптотические) ЛАЧХ и ЛФЧХ при одних и тех же К и Т и разных коэффициентах демпфирования μ.
При μ<0.707 на ЛАЧХ появляется точка максимума (резонансный пик). С уменьшением μ высота резонансного пика возрастает и при μ=0 стремится к бесконечности (при μ=0 ЛАЧХ имеет разрыв). Частота, на которой находится точка максимума ЛАЧХ, называется резонансной частотой. Резонансная частота находится вблизи частоты 1/Т.
Колебательное звено будет усиливать гармоническое воздействие резонансной частоты с максимальным коэффициентом усиления.
Значение ЛФЧХ находится в пределах 0…–π рад (0…–180˚). Все ЛФЧХ имеют общую точку φ = –90˚, ω=1/Т.
Рассмотрим способ построения ЛАЧХ колебательного звена. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот с наклонами 0 и –40 дБ/дек и частотой сопряжения 1/Т. Однако, асимптотическая ЛАЧХ не учитывает наличие резонансного пика, и при малых значениях коэффициента демпфирования ее использовать нельзя. Чтобы построить точную ЛАЧХ в дополнение к двум асимптотам необходимо построить криволинейный участок ЛАЧХ в окрестности частоты (1/Т) это можно сделать по данным, приводимым в справочниках.
Примеры колебательных звеньев
Электрический четырехполюсник (RLC-фильтр)
Передаточная функция четырехполюсника:
Можно найти, что
, .
Чтобы звено было колебательным (μ<1) необходимо соотношение параметров:
Чтобы свободные колебания выходного напряжения не возникали (μ1) необходимо соотношение параметров:
Если удалить из схемы резистор и пренебречь учетом активного сопротивления всех проводников, то звено становится консервативным: W(p)=. Колебания выходного напряжения, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить сопротивление проводников).
Механическая колебательная система (пружина, груз, демпфер).
Входная величина – перемещение конца пружины х, выходная величина – перемещение поршня y. В отличие от апериодического звена здесь появился груз массы m.
Передаточная функция такой системы:
Отсюда следует, что , .
Звено будет колебательным (μ<1) при соотношении параметров: .
Чтобы свободные колебания поршня не возникали (μ1) необходимо соотношение параметров: .
Если пренебречь учетом массы (m=0), то звено становится апериодическим 1-го порядка: W(p)=.
Если пренебречь учетом трения в демпфере, то звено становится консервативным .
Колебания поршня, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить трение).
Апериодическое звено второго порядка
Передаточная функция
Если в передаточной функции принять μ≥1, то оба ее полюса будут действительными. Поэтому знаменатель передаточной функции можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в виде:
,
где Т1 и Т2 – постоянные времени. Это будет уже не колебательное звено, а апериодическое звено 2-го порядка. Его передаточная функция равна произведению двух передаточных функций апериодических звеньев 1-го порядка.
Звено чистого запаздывания
Передаточная функция
Звено чистого запаздывания – это особое линейное звено с трансцендентной передаточной функцией:
, где τ – время запаздывания.
Уравнение звена
По определению передаточной функции
Переходим к оригиналам, используя теорему запаздывания. Получим уравнение звена во временной области:
Статическая характеристика
yст = W(0)·xст = xст
Переходная функция: h(t)=1(t–τ).
Это единичная ступенчатая функция, запаздывающая на время τ.
ЛАЧХ и ЛФЧХ
L(ω) = 0. Звено не изменяет амплитуду гармонического воздействия при любой частоте.
φ(ω) = –ω·τ. Фазовый сдвиг, вносимый звеном, возрастает (в сторону отставания по фазе) пропорционально запаздыванию. ФЧХ в обычном масштабе частоты будет прямой линией. ЛФЧХ в логарифмическом масштабе частоты будет нелинейна.
Пример звена чистого запаздывания
Конвейер, транспортирующий сыпучий материал.
Входная величина – толщина слоя в начале ленты s1, выходная величина – толщина слоя в конце ленты s2. Та толщина, которая есть на входе в данный момент времени, будет на выходе через время запаздывания τ.
Передаточная функция звена имеет вид:
Время запаздывания равно отношению длины рабочего участка ленты конвейера L к скорости ленты V: .