4.2. Законы постоянного тока в проводниках

4.2.1. Закон Ома для полной цепи

Полной электрической цепью называется цепь, составленная из источника постоянного тока и активной нагрузки в виде сопротивления (рис. 9). Нагрузочное сопротивление называют активным, если вся работа тока выделяется на сопротивлении в виде тепла. В цепях постоянного тока присутствует только активная мощность, определяемая:

.

(43)

Вся работа постоянного тока идет в тепло. Количество теплоты, выделяющиеся на сопротивлении, определяется законом Джоуля–Ленца:

,

(44)

где t – время протекания тока.

 R

+

Рис. 9. Электрическая схема полной цепи постоянного тока

Идеальный источник постоянного тока обладает только одной характеристикой – электродвижущей силой  (на схемах длинный полюс источника тока является анодом или «плюсом») Электродвижущая сила, это разница потенциалов на концах источника тока. Идеальный источник тока должен выдавать в сеть только электродвижущую силу (ЭДС) не зависимо от тока в цепи. Реальные источники тока, кроме ЭДС, обладают еще и внутренним сопротивлением r.

Реальные источники постоянного тока бывают химические и генераторные. К химическим источникам тока относятся источники тока, в которых энергия химической реакции (растворения металла) преобразуется в постоянный ток (аккумуляторы и батарейки). К генераторным источникам тока относятся выпрямители переменного тока. Внутреннее сопротивление химического источника тока определяется суммарной работой на преобразование энергии из химической в электрическую, в выпрямителях – полное сопротивление вторичной обмотки трансформатора и электрической схемы, включенной в вторичную обмотку. Эквивалентная схема преобразования реального источника тока приведена на рис. 10.

r

, r ~ ε

Рис. 10. Схема преобразования реального источника тока

к идеальному и сопротивлению

Исходя из эквивалентного преобразования реального источника тока и формулы сложения сопротивлений при последовательном соединении (41), можно записать закон Ома для полной цепи постоянного тока:

.

(45)

4.2.2. Правила Кирхгофа

Законы Ома не позволяют решать сложные (разветвленные) электрические цепи, например, цепь, изображенную на рис. 11. Для решения этой задачи служат законы Кирхгофа. Сам Кирхгоф сформулировал в 1847 году законы протекания жидкости по трубам (водопроводу), а затем с успехом их перенесли на постоянный ток. Аналогия между протеканием жидкости по трубам полная с протеканием тока в цепи. ЭДС источника тока эквивалентна напору насоса в системе, сила тока – расходу жидкости, а площадь поперечного сечения – электрической проводимости.

1

I1 I2

R1 R2

R3 I3

ε1 ε2

2

Рис. 11. Простейшая разветвленная цепь постоянного тока

Первое правило Кирхгофа или правило узлов, постулирует условие постоянства тока в цепи: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю:

.

(46)

Узлом в схеме называется место, где сходятся два или более тока. На схеме, изображенной на рис. 11 имеется два узла, обозначенным точками 1 и 2. Ток в сумме (46) считается положительным, если он питает узел, т.е. втекает в него. Для схемы, представленной на рис. 11, первое правило Кирхгофа запишется следующим образом:

.

(47)

Узлы 1 и 2 в схеме эквиваленты по токам, поскольку уравнения первого закона Кирхгофа для данных узлов отличаются домножением на минус единицу.

Второе правило Кирхгофа (его называют также обобщенным законом Ома для участка цепи) – алгебраическая сумма в замкнутом контуре произведений сил тока на сопротивление, в котором протекает ток, равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур. Замкнутом контуром называется участок цепи, при обходе которого (мысленном движении) приходим в точку выхода. Все выделенные в схеме контура необходимо обходить в одном направлении. В изображенной схеме на рис. 11 присутствует три контура: 1 – ε1-R1-R2-ε2; 2 – ε2-R2-R3; 3 – ε1-R1-R3. ЭДС считается положительной, если направление обхода соответствует истинному направлению тока, генерируемого данной ЭДС. Т.е. если мысленно двигаться по контуру в направлении обхода, то при встречи отрицательного полюса источника тока, значение ЭДС подставляем в второе правило Кирхгофа положительным. Для приведенной разветвленной схемы (см. рис. 11) второе правило Кирхгофа для контуров при указанной схеме обхода «по часовой стрелке»:

.

(48)

Сумма уравнений для первого и второго контуров дает уравнение для третьего контура. Уравнения (47) и (48) составлены для одной схемы, поэтому их можно заключить в алгебраическую систему уравнений, исключив аддитивные уравнения:

.

(49)

В системе уравнений (49) фигурирует восемь величин: три силы тока, три сопротивления и две ЭДС, при любых пяти известных, например ε1, ε2, R1, R2, R3, можно найти три неизвестных величины (I1, I2, I3).

При решении задач методом Кирхгофа необходимо придерживаться следующих правил:

1. Направления сил тока расставляем произвольно. Желательно выбирать направление силы тока на участках цепи, содержащих ЭДС от «плюса» к «минусу» через ЭДС. Если при решении системы уравнений ток получится отрицательным, то после решения задачи на схеме необходимо поменять его направление на противоположный.

2. Выделить в разветвленной цепи все замкнутые контуры и при написании второго правила Кирхгофа обходить их строго в одинаковом направлении.