Интерференция в тонких пленках

Полосы равной толщины наблюдаются при отражении параллельного или почти параллельного пучка лучей света (i = const) от тонкой прозрачной пленки, толщина d которой не одинакова в разных местах.

Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона, которые наблюдаются в схеме, изображенной на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

Схема наблюдения колец Ньютона: (Л – плосковыпуклая линза, А – плоская пластина, ВС – плоская поверхность линзы)

Плосковыпуклая линза Л с большим радиусом R кривизны выпуклой поверхности обращена этой поверхностью к плоской пластине А и соприкасается с ней в точке О. Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность ВС линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных волн возникают интерференционные кольца равной толщины. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на рис. 3.7. В центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка). Оно окружено системой чередующихся светлых и темных колец, ширина и интенсивность которых постепенно убывают по мере удаления от центрального пятна.

Рис. 3.7.

Изображение колец Ньютона

Радиусы m – x радиусы светлого и темного колец Ньютона в отраженном свете равны:

(3.5)

Под дифракцией света понимают всякое отклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления.

Различают два случая дифракции света: дифракцию Френеля, дифракцию в сходящихся лучах, и дифракцию Фраунгофера, дифракцию в параллельных лучах. В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волн, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием на конечном расстоянии от него. Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. При дифракции света на экране получается «дифракционное изображение», а при дифракции Фраунгофера – «дифракционное изображение» удаленного источника света. Дифракционные явления Фраунгофера имеют в оптике значительно большее практическое значение, чем дифракционные явления Френеля.

Простейшим для расчета и практически очень важным случаем является Фраунгофера дифракция на длинной прямоугольной щели. Ширину щели обозначим через b = , ее длину будем считать бесконечной. Пусть на щель нормально падает монохроматическая волна (рис. 3.6) на непрозрачный экран Х. В соот­ветствии с принципом Гюйгенса — Фре­неля точки щели являются вторичными источниками волн, колеблющимися в одной фазе, так как плоскость щели сов­падает с фронтом падающей волны. Вторичные волны, излучаемые полоской волнового фронта ширины dx, параллельной щели,, складываясь, дают цилиндрическую волну, осью которой является эта полоска. Зависимость этой волны от направления ее распространения, определяемого углом , можно не учитывать, так как угол дифракции  должен предполагаться малым.

Рис. 3.6.

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера): (b - ширина щели, Х – непрозрачный экран,  - угол дифракции (считается малым) )

Однако необходимо учесть разности фаз между волнами, исходящими из различных полосок. Речь идет о фазах колебаний на бесконечном расстоянии от щели. Волна, исходящая из dx под углом , опережает по фазе волну того же направления, исходящую из середины щели О, на . Поэтому результирующее поле в бесконечности, создаваемое всей щелью, представится интегралом: Здесь опущены все множители, не влияющие на относительное распределение волнового поля по направлениям. Вычислив интеграл, получим где введено обозначение Отсюда для распределения интенсивности света по направлениям найдем где - интенсивность в направлении падающей волны. На рис. 3.7 представлены графики функций (пунктирная кривая) и (сплошная кривая). Обе функции обращаются в максимум, равный единице, при  = 0. При  = m , где m =  1,  2, …, они равны нулю, то есть в этих точках наблюдаются минимумы интенсивности. Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы различных порядков. Можно считать, что максимумы располагаются посередине между соседними минимумами.

(3.6)

Н

аблюдается дифракционный минимум.

(3.7)

Н

аблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля. Величина m называется порядком дифракционного максимума.

Рис. 3.7.

Графическое изображение графиков функций (пунктирная кривая) и (сплошная кривая).

Рассмотрим явление дифракции на двух щелях. Предположим, что прорезали в перегородке КК (рис. 3.8) две щели шириной b, разделенные непрозрачным промежутком а, так что а + b = d.

Рис. 3.8.

К определению положения главных максимумов и добавочных минимумов при дифракции на двух параллельных щелях

Очевидно, что минимумы будут на прежних местах, ибо те направления, по которым ни одна из щелей не посылает света, не получат и при двух щелях. Кроме того, однако, возможны направления, в которых колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются. Это будут, очевидно, направления, которым соответствуют главные максимумы.

Кривая рис. 3.9. показывает распределение интенсивностей. Пунктирная кривая соответствовала бы сложению интенсивностей обеих щелей, например, в том случае, если бы обе щели освещались некогерентными между собой световыми пучками. Сплошная кривая дает действительное распределение интенсивностей. Общие световые потоки сквозь щели, определяемые площадями, заключающимися между этими кривыми и осью абсцисс, должны, конечно, оставаться одинаковыми в обоих случаях. При увеличении расстояния между щелями отдельные максимумы станут уже и чаще, но указанная площадь останется неизменной. Так как для одной щели центральный максимум гораздо интенсивнее боковых, то при наличии двух одинаковых щелей почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума, то есть в пределах,

Рис. 3.9.

Распределение интенсивности при дифракции на двух параллельных щелях шириной b, расположенных на расстоянии d

определяемых условием (см. рис. 3.9). Таким образом, угловая ширина основной дифракционной картины равна . Дифракция от двух щелей, облегчает переход к рассмотрению дифракционной решетки.

Для усиления дифракционной картины используют дифракционную решетку, с множеством малых отверстий или щелей. Простейшая дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине. На рис. 3.10. показаны две соседние щели BC и DЕ.

Рис. 3.10.

Простейшая дифракционная решетка.

Ширину щелей обозначим через b, а ширину непрозрачных промежутков – через а. Величина d = a + b называется периодом дифракционной решетки.

Условие главных максимумов дифракционной решетки:

(3.8)

где n = 0; 1; 2; … - порядок главного максимума.

Главные минимумы соответствуют таким углам ψ, для которых = 0, т.е. свет от разных частей каждой щели полностью погашается в результате интерференции. Условие главных минимумов выражается соотношением (3.6): Главные максимумы, соответствующие тем углам ψ, которые одновременно удовлетворяют условиям (3.8) и (3.6), не наблюдаются. Например, если d = 2b, то все четные максимумы (n = 2; 4; 6 и т.д.) отсутствуют.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

(3.9)

где - разность хода двух волн; N – общее число штрихов, m – порядок дифракционного максимума.

Если дифракционная решетка освещается бельм светом, то для разных значений λ положения всех главных максимумов, кроме центрального (n = 0), не совпадают друг с другом. Поэтому централь­ный максимум имеет вид белой полоски, а все остальные — радужных полосок, называемых дифракционными спектрами первого, второго и т. д. порядков. В пределах каждой полоски окраска изменяется от фиолетовой у внутреннего края (ближайшего к максимуму нулевого порядка) до красной у наружного края. Это свойство дифракционной решетки широко используют для исследования спектрального состава света, т. е. определения частот (или длин волн) и интенсивностей всех его монохроматических компонент. Применяемые для этого приборы называют дифракционными спектрографами, если исследуемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, и дифракционными спект­роскопами, если спектр наблюдается визуально.

Гораздо шире распространен случай, когда коэффициент пропускания пластинки, располагаемой в световом пучке, меняется не вдоль одного направления, а по всей поверхности нашей пластинки. Примером может служить пластинка беспорядочно запыленного стекла или окно, покрытое узорами мороза. Ясно, что такое изменение коэффициента пропускания можно охарактеризовать как изменение по двум координатам нашей поверхности, так что рассматриваема структура будет двумерной. В простейшем случае это будет двумерная периодическая структура (двумерная решетка), в общем – совокупность многих двумерных решеток.

Рассмотрим двумерную решетку, представляющую собой скрещенные перпендикулярные решетки с периодами и . Подобный случай легко осуществить, поставив непосредственно одну за другой две обыкновенные нарезанные на стеклянных пластинах дифракционные решетки, штрихи которых направлены перпендикулярно друг к другу.

Узкий пучок монохроматического света, пройдя через первую решетку с вертикальными штрихами, должен дать совокупность максимумов (нулевой и максимумы высших порядков) вдоль горизонтальной линии.

Световой пучок, соответствующий каждому максимуму, проходя через вторую решетку, распадается на новую совокупность световых пучков, дающих максимумы вдоль вертикальной линии. Полная картина спектра подобна, изображенной на рис. 3.11. Цифры 0,0; 0,1; 1,1; 1,2 и так далее около пятнышек показывают порядок спектра в первой и второй решетках.

Рис. 3.11.

Схематическое изображение распределения интенсивности при дифракции на двумерной решетки

Отклонение дифрагировавшего луча вдоль Х приведет к образованию минимумов и максимумов света в зависимости от величины угла дифракции. Применяя теорию одномерной решетки (см. уравнения 3.6 - 3.8), найдем, что положение главных максимумов должны удовлетворять условиям:

(3.10)

Аналогично дифракция в направлении оси Y дает главные максимумы в направлениях, определяемых условиями:

(3.11)

Таким образом, главные максимумы возможны только в направлениях, удовлетворяющих двум из написанных выше совокупностей условий, причем каждой паре значений целых чисел и соответствует максимум того или иного порядка.

Наибольший интерес и практическое значение имеет дифракция на пространственных неоднородностях. В этом случае волна распространяется не в однородной среде, а в среде, в которую включены участки, где скорость волны отличается от скорости в остальных частях среды, то есть участки с иным показателем преломления.

Рассмотрение дифракции на пространственных неоднородностях любой формы представляет собой очень сложную задачу. Ограничимся простейшим случаем, когда неоднородности имеют правильный периодический характер, то есть представляют собой решетку. Однако в этом случае периодическая структура среды имеет пространственный характер, то есть решетка тянется по всем направлениям в среде. Представим ее как совокупность периодических структур по трем координатным направлениям и рассмотрим дифракцию плоских волн на такой пространственной трехмерной решетке.

Допустим, что наша среда вдоль оси Х представляет собой периодическую структуру с периодом , вдоль оси Y – решетку с периодом и вдоль оси Z – решетку с периодом . Результат дифракции на трехмерной структуре показан на рис. 3.12., где OZ – направление падающей волны; AM, BN, CQ , DS,… - направления волн, дифрагировавших на отдельных слоях, схематически изображенных маленькими площадками , , , …; направления AM, BN, … составляют угол  с направлением ОZ.

Рис. 3.12.

Схема дифракции на трехмерной структуре

В случае дифракции на пространственной структуре с периодами , , получим максимумы света только в направлениях, удовлетворяющих следующим условиям:

(3.12)

где - целые числа.

Рассмотренный случай дифракции на трехмерной решетке имеет исключительно важное значение. Он осуществляется практически при дифракции рентгеновских луче на естественных кристаллах.

Русский физик Г. В. Вульф и английский У. Л. Брэгг независимо друг от друга предложили (1913) простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения в кристаллах. Они исходили из предположения о том, что дифракцию рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его отражения от системы параллельных сетчатых плоскостей кристалла, т. е. плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки. Это отражение, в отличие от обычного, осуществляется лишь при таких условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют интерференционным максимумам для лучей, отраженных от разных плоскостей. На рис. 3.13 показаны две соседние сетчатые плоскости кристалла АА' и ВВ'.

Рис. 3.13.

Схематическое изображение дифракции рентгеновского излучения:

(АА' и ВВ' – сетчатые плоскости кристалла, 1 и 2 – падающие лучи, 1' и 2' - отраженные лучи, d – межплоскостное расстояние, - угол скольжения)

Абсолютный показатель прело­мления всех сред для рентгеновского излучения близок к единице. Поэтому оптически разность хода между двумя лучами 1' и 2', отражающимися от плоскостей АА' и ВВ' равна  = , угол - между падающими и отраженными лучами и плоскостью АА' (угол скольжения). Если длина волны рентгеновского излучения равна , то интерференционные максимумы отраже­ния удовлетворяют следующему условию, называемому условием Брэгга - Вульфа:

(3.13)

где n = 1,2, …- порядок дифракционного максимума.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

3.1. Что представляет собой свет.

3.2. Явление проявления волновых свойств света.

3.3. Определение интерференции света.

3.4. Необходимое условие интерференции волн.

3.5. Условия наблюдения интерференционной картины.

3.6. Метод зеркал Френеля.

3.7. Условие интерференционного максимума.

3.8. Условие интерференционного минимума.

3.9. Определение ширины интерференционной полосы.

3.10. Определение длины интерференционной полосы.

3.11. Бипризма Френеля.

3.12. Кольца Ньютона.

3.13. Радиусы темных колец Ньютона.

3.14. Радиусы светлых колец Ньютона.

3.15. Определение оптической длины пути.

3.16. Оптическая разность хода интерферирующих волн.

3.17. Билинза.

3.18. Определение дифракции света.

3.19. Условия наблюдения дифракционного минимума.

3.20. Условие наблюдения дифракционного максимума.

3.21. Одномерная дифракционная решетка.

3.22. Двухмерная дифракционная решетка.

3.23. Трехмерная дифракционная решетка.

3.24. Период дифракционной решетки.

3.25. Условие главного максимума одномерной дифракционной решетки.

3.26. Условие главного минимума одномерной дифракционной решетки.

3.27. Условие главного максимума двухмерной дифракционной решетки.

3.28. Условие главного максимума трехмерной дифракционной решетки.

3.29. Определение дифракционных спектров.

3.30. Приборы, используемые для спектрального состава света.

3.31. Метод Юнга.

3.32. Разрешающая способность дифракционной решетки.

3.33. Формула Брэгга – Вульфа.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: “ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА”

1. Определить явление.

2. Если это явление дифракции, то сделать чертеж.

3. Записать условие максимума или минимума интерференции, если это явление интерференции, для явления дифракции, записать уравнения дифракционного максимума или дифракционного минимума.

4. Решить полученную систему уравнений.

5. Проверить единицы физических величин измерений справа и слева от знака равенства.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: “ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА”

Задача 3.1. На поверхность стеклянного объектива ( 1,5) нанесена тонкая пленка, показатель преломления которой = 1,2 (“просветляющая” пленка). При какой наименьшей толщине d этой пленки произойдет максимальное ослабление отраженного света в средней части видимого спектра.

Решение:

Дано: 1,5 = 1,2	Стеклянная пластинка
	Рисунок к задаче 3.1.
Найти: d - ?

2. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий пучок SA. В точках А и В, падающий пучок частично отражается и частично преломляется. Отраженные пучки света и падают на собирающую линзу, пересекаются в ее фокусе и интерферируют между собой. Т.к. показатель преломления воздуха ( l) меньше показателя преломления вещества пленки, который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла, то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та среда, в которой идет падающая волна. Поэтому фаза колебания пучка света при отражении в точке А изменяется на π рад и точно так же на π рад изменяется фаза колебаний пучка света при отражении в точке В. Следовательно, результат интерференции этих пучков света при пересечении в фокусе линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того ни у другого пучка не было.

Согласно уравнениям (3.1) и (3.4), имеем:

(1)

Оптическая разность хода:

(2)

С учетом уравнений (1) и (2) условие минимума интенсивности имеет вид:

(3)

3. В пределе при α = 0, имеем . Решая полученное уравнение относительно искомой величины, можно получить:

(4)

Минимальное значение d соответствует значению k = 0.

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: d = 115 нм.

Задача 3.2. От двух когерентных источников и ( = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине пленки это возможно?

Дано:  = 0,8 мкм n = 1,33	Решение: Рисунок к задаче 3.2.
Найти: - ?

1. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн.

2. Согласно уравнениям (3.1) и (3.2), имеем:

(1)

где - оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; - оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k = 0, 1, 2,…

Наименьшей толщине пленки соответствует k = 0, с учетом этого, имеем:

(2)

Из рисунка следует:

3. Решая совместно систему уравнений:

(3)

получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: 1,21 мкм.

Задача 3.3. На щель шириной а = 20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света ( = 500 нм). Найти ширину А изображения щели на экране, удаленном от щели на расстоянии l = 1 м. Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

Дано:  = 500 нм = = м а = 20 мкм = = м l = 1 м

Найти: А - ?

Р ешение:

1.

Рисунок к задаче 3.3.

2. Из рисунка видно, что

(1)

Поскольку угол  мал то можно принять, что

(2)

Подставляя (2) в (1), имеем:

(3)

3. Согласно уравнению (3.8) откуда при k =1, имеем:

(4)

Подставляя (4) в (3), имеем:

(5)

4. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

м.

Ответ: А = 0,05 м.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

3.1. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в первом порядке были разрешены линия спектра калия = 404,4 нм и = 404, 7 нм. Ширина решетки а = 3 см.

(Ответ: d = 22 мкм)

3.2. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение идет в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами = 4,8 мм. Найти расстояние между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона.

(Ответ: = 3,6 мм)

3.3. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны  = 589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 10 м. Пространство между линзой и стеклянной пластиной заполнено жидкостью. Найти показатель преломления n жидкости; если радиус светлого кольца в проходящем свете = 3,65 мм.

(Ответ: n = 1,33)

3.4. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними интерференционными полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый светофильтр ( = 500 нм) заменить красным ( = 650 нм).

(Ответ: = 1,3)

3.5. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерференционных полос в отраженном свете ртутной дуги ( = 546, 1 нм) оказалось, что расстояние между пятью полосами l = 2 см. Найти угол  клина. Свет, падая перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель преломления мыльной воды n = 1,33.

(Ответ:  = )

3.6. На щель шириной а = 6λ падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны . Под каким углом φ будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?

(Ответ: )

3.7. По прямой дороге идет обычная автомашина с включенными фарами (рассматриваемыми как точечные источники). Расстояние между фарами автомобиля 120 см. На каком расстоянии от наблюдателя должна находиться машина, чтобы он был уверен, что видит два источника света, а не один? Примите диаметр зрачка глаза равным 0,5 см, а эффективную длину света, испускаемого фарами, равной 5500 (1 = см). Как вы думаете, тот факт, что свет «белый» (то есть смесь лучей с разными длинами волн), облегчает или затрудняет разрешение двух источников света?

(Ответ: R = 9 км)

3.8. Когда желобки дифракционной решетки располагаются так, что они отражают большую часть падающего излучения только в определенном направлении, то говорят, что решетка блестит в этом направлении. Предположим, что желобки можно нанести так, чтобы сечение решетки представляло собой пилообразную функцию, показанную на рисунке, причем поверхность каждого желобка лежит под определенным углом .

а) Используя понятие о дифрагированном пучке света как об излучении, испускаемом в веществе осцилляторами, которые колеблются в одной фазе с падающим излучением, определите, в каком направлении дифрагированный пучок будет иметь наибольшую интенсивность, если = 0.

б) Приблизительно оцените тот угловой интервал, внутри которой решетка «блестит».

(Ответ: )

Рисунок к задаче 3.8.

3.9. На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от источника L проходит через узкую щель S, затем через коллиматорную линзу (или зеркало) , которая превращает его в параллель­ный пучок лучей (так что на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее параллельный пучок лучей дифрагирует от решетки G; дифрагированный свет, идущий в оп­ределенном угловом интервале, падает на линзу , называемую камерной, и фокусируется ею в плоскости Р. Получается набор узких спектраль­ных линий. Пусть длина щели равна h, ее ширина w, фокусные расстояния линз и равны и , а углы между нормалью к решетке и осями линз и равны и ; 1 мм решетки содержит N линий. Дайте ответ на следующие вопросы:

а) Какую ширину будет иметь полоса, занимаемая спектром в плоскости Р?

б) Какой длине волны (s) будет отвечать линия, лежащая на плоскости Р в месте прохождения оси линзы ?

в) На каком расстоянии друг от друга в фокальной плоскости будут находиться две спектральные линии, длины волн которых отличаются на 1,00 ? Такая величина часто называется дисперсией оптического устройства.

(Ответ: а) ; б) ; в) ; г) )

Рисунок к задаче 3.9.

3.10. Спектрограф 150-футового солнечного башенного те­лескопа, находящегося в обсерватории Маунт Виль­сон, показан схематически на рисунке. В этом уст­ройстве одна и та же линза действует и как коллиматорная и как камерная, а = - (почти!). Фокусное расстояние всего устройства F = 23 м, а решетка имеет площадь 15 см 25 см, причем в 1 мм ее содержится 600 линий. Обычно при на­блюдениях используется спектр пятого порядка.

а) При каком угле  наклона решетки линия спектра возбуждения нейтрального железа, отвечающая длине волны  = 5250,218 , будет совпадать с положением щели в спектре пятого порядка?

б) Для каких других длин волн в интервале от  = 3600 до  = 7000 линия спектра также будет совпадать с положением щели?

в) Предложите простой способ устранения в на­блюдаемой картине спектров нежелательных по­рядков, оставив только спектр пятого порядка.

г) Какова дисперсия рассматриваемого устройства при длине волны  = 5250 , отвечающей линии в спектре пятого порядка?

д) Каково минимальное теоретическое значение , которое может быть разрешено при длине вол­ны  = 5250 в спектре пятого порядка?

(Ответ: а) ; б) ; г) D = 7,8 мм; д) )

Рисунок к задаче 3.10.