2. Постулат, основанный на принципе Гюйгенса - Френеля: « все точки поверхности, через которые проходит фронт волны , следует рассматривать как источники вторичных волн, а искомое положение фронта в момент времени совпадает с поверхностью, огибающей все вторичные волны, идей о когерентности вторичных волн и их интерференции при наложении)

3. Постулат Ферма, называемый принципом наименьшего времени:

«Свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения». Согласно принципу Ферма, в свободном однородном изотропном пространстве луч прямолинеен.

Оптические системы:

1. Плоское зеркало. На рис. 1.3 представлено плоское зеркало АВ. Луч, идущий от светящейся точки S в точку D, отражается в направлении DE. Луч, падающий в точку F, - в направлении FG. Точку пересечения продолжений расходящихся лучей DE и FG называют мнимым изображением точки S .

Рис. 1.3.

Построение изображения точки S в плоском зеркале: (S – светящиеся точка; - мнимое изображение точки S; АВ – плоское зеркало)

Мнимое изображение симметрично точке S относительно плоскости зеркала, так как S и находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскости зеркала АВ. Доказательство: у прямоугольных треугольников DC и SDC сторона CD общая, , то есть эти треугольники равны, а следовательно, (см. рис. 1.3).

Чтобы построить изображение предмета в плоском зеркале, нужно:

1. Разделить предмет на отдельные части;

2. Построить изображение каждой из этих частей.

Как видно из рис. 1.4, изображение в плоском зеркале получается мнимое, прямое, симметричное относительно плоскости зеркала, то есть правая сторона изображения соответствует левой стороне предмета.

Рис. 1.4.

Построение изображения предмета в плоском зеркале

Изображение называется действительным, если световые лучи действительно пересекаются в точке . Если же в пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению света, то изображение называется мнимым. Изображение называется прямым, если оно расположено так же как и предмет.

При помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза.

2. Линзой называется тело с определенным показателем преломления п, ограниченное двумя сферическими (иногда цилиндрическими) поверхностями. Линия, проходящая через центры кривизны обеих поверхностей, называется глав­ной оптической осью линзы.

Рис. 1.5.

Тонкая выпукло – вогнутая линза (мениск)

Методы геометрической оптики позволяют установить основные оптические характеристики линз по отношению к источникам (предметам), расположенным вблизи от опти­ческой оси. Рассмотрим, в первую очередь, тонкую лин­зу, у которой расстояние между ограничивающими поверхностями мало по сравнению с диаметром линзы.

На рис. 1.5 изображена тонкая выпукло-вогнутая линза (мениск), у которой радиусы передней , и задней по­верхностей положительны. Расчет будем вести в общем ви­де, пригодном для линз любой формы (двояковыпуклой, плосковогнутой и т.д.) Так как линза тонкая, то отсчет рас­стояний до предмета - d и до изображения - f можно вести практически от одной точки Р - оптического центра линзы. Показатели преломления сред, расположенных перед и после линзы, обозначим соответственно через и . Формула тонкой линзы имеет вид:

(1.4)

Величина

(1.5)

называется оптической силой линзы, а обратная ей величина F - главным фокусным расстоянием Пучок параллельных лучей, идущих от бесконечно удален­ного источника (d =  ), сходится в так называемом заднем фокусе линзы на расстоянии f = F от ее оптического цент­ра. Лучи, исходящие из переднего фокуса линзы (f = - F), после преломления пойдут параллельно главной оптической оси ( ).

Если измерять фокусное расстояние F в метрах, то опти­ческая сила линзы D будет измеряться в диоптриях: 1 диоптрия = 1/м.

Параллельный пучок лучей после преломления в выпуклой линзе преобразуется в сходящийся, такие линзы называются собирательными. При главное фокусное расстояние f положительно и мы имеем собирательную линзу. Пример такой собирательной двояковыпуклой линзы ( ) изображен на рис. 1.6, а. Параллельный пучок после преломления в вогнутой линзе преобразуется в расходящийся, такие линзы называются рассеивающими. При F < 0 получаем рассеивающую линзу. Пример такой рассеивающей двояковогнутой линзы ( ) приведен на рис. 1.6, б.

Рис. 1.6.

Изображение линз: а) собирательная двояковыпуклая линза; б) рассеивающая двояковогнутая линза

Пучок параллельных лучей, наклоненных к главной оптической оси под малым углом , также собирается в одну точку, лежащую в плоскости, проходящей через главный фокус Ф и перпендикулярной к главной оптической оси (рис. 1.6, а). Эта плоскость называется фокальной плоскостью.

Рассмотренные свойства тонких линз позволяют геометрически строить изображения предметов, представляющие собой совокупность изображений всех отдельных точек предмета. Если предмет линейный, то при этом достаточно построить изображения двух его крайних точек.

Для нахождения изображения каждой отдельной точки необходимо геометрически построить пересечение лучей, исходящих из этой точки, после их преломления к линзе. В принципе при этом достаточно найти пересечение каких – либо двух из этих лучей. Практически же, если известны положения оптического центра и главных фокусов, легко построить три луча и проконтролировать себя, проверяя, пересекутся ли все они в одной точке.

Замечательные лучи:

1. луч, идущий параллельно оптической оси;

2. луч, проходящий через оптический центр линзы без преломления;

3. луч, проходящий через главный фокус линзы;

4. луч, проходящий через двойной фокус.

Для примера на рис. 1.7 построено изображение линейного предмета АВ, получаемое с помощью собирающей линзы. Из общего пучка лучей, исходящих из точки А, выделим три луча: 1, 2 и 3. Луч 1 идет параллельно главной оптической оси и после преломления проходит через задний фокус

Рис. 1.7.

Пример построения изображения линейного предмета АВ с помощью собирающей линзы: (АВ – предмет, d – расстояние от предмета АВ до линзы, F – фокусное расстояние, f – расстояние от линзы до изображения, - изображение предмета АВ, у – размер предмета АВ, - размер изображения )

. Луч 2 проходит через передний главный фокус Ф и после преломления пойдет параллельно главной оптической оси. Наконец, луч 3, проходящий через оптический центр линзы Р, проходит вовсе не преломляясь. Пересечение этих трех лучей дает точку , являющуюся изображением края А предмета. Опуская из перпендикуляр на главную оптическую ось найдем точку , являющуюся изображением второго края предмета.

Предмет АВ на рис. 1.7 помещен на расстоянии d, большем главного фокусного расстояния F. Как видно из чертежа, в этом случае изображение предмета увеличенное и перевернутое. Так как точки изображения являются пересечениями самих лучей, а не их продолжений, то такое изображение будет действительным.

Построение рисунка 1.7 позволяет определить поперечное увеличение Y, даваемое линзой, как отношение размера изображения к размеру предмета у.

(1.6)

В зависимости от расположения предмета по отношению к переднему главному фокусу увеличение Y может быть как больше, так и меньше единицы.

Для определения углового увеличения линзы построим пучок лучей от источника S, расположенного на оптической оси, расходящихся под углом  (рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Определение углового увеличения линзы: (S – источник света,  - угол под которым расположен источник света на оптической оси, d – расстояние от источника S до линзы, f – расстояние от линзы до изображения)

После преломления в линзе они превратятся в пучок лучей, сходящихся под углом . Угловым увеличением А будем называть отношение тангенсов этих углов. Из чертежа следует, что

(1.7)

Чем дальше получается изображение предмета, тем больше его поперечные размеры и тем меньше угловые.

Для вычисления продольного увеличения , то есть отношения продольного размера изображения к продольному размеру предмета х, заметим что тангенсы углов пропорциональны отношению поперечных размеров y к продольным х. Следовательно,

(1.8)

В реальных линзах наблюдаются различные ис­кажения изображения, объединяемые общим термином дефектов линз. Рассмотрим некоторые основные типы дефектов линз.

1. Сферическая аберрация. На рис. 1.9 показан ход лучей от источ­ника S, расположенного на оптической оси, преломля­ющихся в собирательной линзе большой светосилы.

Рис. 1.9.

Сферическая аберрация: ( - расстояние от оптического центра линзы до точки пересечения лучей, - мера сферической аберрации, - изображение светящейся точки S)

Параксиальные лучи (это узкие пучки лучей идущие вблизи главной оптической оси) пере­секаются в точке, находя­щейся на расстоянии от оптического центра линзы. Для лучей, более удален­ных от оптической оси, при преломлении должно оста­ваться тем же самым отношение синусов углов. Так как sinα возрастает медленней, чем α, то для этих лучей отно­шение углов возрастает и они сильнее отклоняются, пересе­каясь во все более близких точках оптической оси. Самые крайние лучи пересекутся в точке S", и изображением све­тящейся точки S будет не точка, а целый отрезок S'S". Этот отрезок является мерой сферической аберрации. Для собирающей линзы δ < 0, а для рассеивающей δ > 0.

2. Астигматизм. Сферическая аберрация является частным случаем более общего дефекта линз, называемого астигматизмом. Рассмотрим преломление лучей, идущих от источника S, расположенного на некотором расстоянии от оптической оси (рис. 1.10). До преломления лучи исходят из точки S по ра­диусам (гомоцентрический пучок), и перпендикулярные к ним волновые поверхности являются строго сферическими. После преломления волновые поверхности становятся по­верхностями двоякой кривизны. Такая поверхность двоякой

Рис. 1.10.

Астигматизм

кривизны будет сходиться с различной скоростью во взаим­но перпендикулярных направлениях. В результате на неко­тором расстоянии за линзой эта поверхность сойдется в уз­кую горизонтальную ленточку S'. Далее волновая поверх­ность в вертикальном направлении начнет расширяться, а в горизонтальном будет еще продолжать сжиматься и на не­котором расстоянии превратится в узкую вертикальную ли­нию S". За S" волновая поверхность будет расходиться и в горизонтальном и в вертикальном направлениях.

Если рассматривать через такую линзу сетку, состоящую из радиусов и колец с центром на оптической оси, то в плоскости, соответствующей S', получается более четкие изображения концентрических кругов, а в плоскости соответствующей S", - более четкое изображение радиальных линий.

Для компенсации астигматизма объективы фотографических аппаратов составляют из нескольких линз с различной кривизной и показателями преломления. В хороших фотообъективах – анастигматах – при большом поле зрения устраняется и искривление плоскости изображения.

Для цилиндрических линз осевая симметрия преломленного пучка всегда нарушается и получается астигматическое изображение. Поэтому при наличии сильного природного астигматизма глаза для компенсации применяют очки с цилиндрическими стеклами.

3. Кома, дисторсия. Если светящаяся точка, посылающая широкий пу­чок, находится не на оси системы, то каустика принимает более сложный вид. Покроем линзу экраном, в котором прорезана узкая щель в виде кольца большого диаметра с центром на оси. Светя­щаяся точка L помещена вне оси. Широкий пучок, проходя через систему, дает на экране изображение L в виде довольно сложной асимметричной фигуры (рис. 1.11).

Устранив экран и заставив работать всю линзу, мы в качестве изображения точки получим неравномерно освещенное пятнышко, несколько напоминающее комету с хвостом. Отсюда произошло название этого вида аберрации (кома — прядь волос; комета — волосатая звезда).

Нередко кома имеет и более сложный вид. Соответствующим под­бором совокупности частей системы кома может быть значительно ослаблена.

Рис.1.11.

Кома

Различное увеличение в центре и на периферии приводит к искажению формы изображения, называемому дисторсией.

4. Хроматическая аберрация. На рис. 1.12 показана схема хроматической аберрации в собирающей линзе.

Рис. 1.12.

Схема хроматической аберрации в собирающей линзе

При нормальной дисперсии в стеклах слабее всего преломляются и имеют наибольшее фокусное расстояние F красные лучи, ближе всего к линзе расположен фокус фиолетовых лучей, а в промежутке располагаются фокусы для всех промежуточных цветов спектра. Экран Е, помещенный перпендикулярно к оптической оси, будет да­вать изображение точки в виде радужного кружка, порядок распределения цветов в котором зависит от расположения экрана.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1.1. Определение геометрической (лучевой) оптики.

1.2. Закон отражения.

1.3. Закон преломления.

1.4. Закон независимости световых пучков.

1.5. Закон прямолинейного распространения света.

1.6. Плоское зеркало.

1.7. Постулат обратимости светового луча.

1.8. Постулат, основанный на принципе Гюйгенса – Френеля.

1.9. Постулат Ферма.

1.10. Определение линзы.

1.11. Определение главной оптической оси линзы.

1.12. Определение тонкой линзы.

1.13. Определение оптического центра линзы.

1.14. Формула тонкой линзы.

1.15. Определение оптической силы тонкой линзы.

1.16. Определение главного фокусного расстояния тонкой линзы.

1.17. Определение собирательной линзы.

1.18. Определение рассеивающей линзы.

1.19. Определение фокальной плоскости.

1.20. Построение изображений в линзах.

1.21. Замечательные лучи.

1.22. Определение поперечного увеличения, даваемое линзой.

1.23. Определение продольного увеличения линзы.

1.24. Определение светосилы линзы.

1.25. Определение светового потока, проходящего через линзу.

1.26. Виды дефектов линзы.

1.27. Определение сферической аберрации.

1.28. Определение астигматизма.

1.29. Кома.

1.30. Дисторсия.

1.31. Определение хроматической аберрации.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА»

1. Сделать чертеж.

2. Записать законы геометрической оптики.

3. Записать формулу тонкой линзы.

4. Записать дополнительные уравнения позволяющие определить неизвестную величину.

5. Решить полученную систему уравнений.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА»

Задача 1.1. Изображение дерева АВ занимает всю длину плоского зеркальца длиной 5 см, помещенного вертикально на расстоянии 30 см от глаза. Дерево удалено на 90 см от зеркальца. Какова высота дерева.

1.

Дано: h = 5 см = 0,05 м l = 0,3 м L = 90 м

Найти: H - ?

Рисунок к задаче 1.1.

2. Изображение дерева в зеркальце (см. рис. 1.1.), из чертежа находим:

(1)

3.Тогда

(2)

4. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: H = 15,05 м.

Задача 1.2. На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 1 см падает луч света под углом . Показатель преломления стекла n = 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти расстояние l между лучами.

1.

Дано: d = 1 см = 0,01 м n = 1,73.

Найти: l - ?

Рисунок к задаче 1.2.

2. Согласно (1.1), имеем:

(1)

Угол преломления . Из  АDС получаем

3. Тогда

(2)

4. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

см.

Ответ: l = 0,58 см.

Задача 1.3. Найти фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути ( ), если фокусное расстояние для желтой линии натрия ( ) = 16 см. Показатели преломления кварца для этих для этих длин волн и .

Дано: нм = = м нм = м = 16 см = 0,16 м

Найти: - ?

1.Согласно (1.5), имеем:

(1)

2.Для желтой линии из (1) имеем: Тогда

(2)

Для ультрафиолетовой линии, имеем:

(3)

3. Решая совместно уравнения (2) и (3), имеем: .

4. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

м.

Ответ: = 0,145 м.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1. Малый предмет (точка А) расположен на равных расстояниях от двух плоских зеркал, образующих двугранный угол. Начертить все изображения точки А, если этот угол равен: ; . Доказать, что в обоих случаях точка А и ее изображения лежат на окружности с центром в точке О на ребре двугранного угла.

1.2. На расстоянии = 15 см от двояковыпуклой линзы, оптическая сила которой D = 10 дптр, поставлен перпендикулярно к оптической оси предмет высотой = 2 см. Найти положение и высоту изображения. Дать чертеж.

(Ответ: = 0,04 м)

1.3. Линза с фокусным расстоянием F = 16 см дает резкое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми d = 6 см. Найти расстояние от предмета до экрана.

(Ответ: = 0,88 м)

1.4. Луч света падает под углом на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Показатель преломления стекла n = 1,5. Какова толщина d пластинки, если расстояние между лучами l = 1,94 см.

(Ответ: d = 0,1 м)

1.5. Луч света падает под углом i на тело с показателем преломления n. Как должны быть связаны между собой величины i и n, чтобы отраженный луч был перпендикулярен к преломленному.

(Ответ: )

1.6. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол полного внутреннего отражения для этого луча . Найти скорость распространения света в скипидаре.

(Ответ: )

1.7. На дно сосуда, наполненного водой до высоты h = 10 см, помещен точечный источник света. На поверхности воды плавает круглая непрозрачная пластинка так, что ее центр находится над источником света. Какой наименьший радиус r должна иметь эта пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти через поверхность воды.

(Ответ: r = 11,3 см)

1.8. Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой . Показатель преломления материала призмы для этого луча n = 1,5. Найти угол отклонения  луча, выходящего из призмы, от первоначального направления.

(Ответ:  = )

1.9. 200 – дюймовый телескоп Гейла имеет фокусное расстояние 160 м. Какова разница в положении изображений при наблюдении отдаленных звезд и

а) Луны;

б) искусственного спутника находящегося от Земли на расстоянии 320 км?

(1 дюйм = 25,4 мм)

(Ответ:

1.10. Телеобъектив состоит из положительной линзы с фокусным расстоянием = 30 см и отрицательной линзы с фокусным расстоянием = - 10 см; расстояние между обеими линзами 27,5 см. Где должна быть расположена фотопластинка, на которой будет сфотографирован объект, находящийся впереди первой линзы на расстоянии 10 м? Тщательно проследите путь луча.

(Ответ: 25,25 см)

Рисунок к задаче 1.10