Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав)  у (ас) (у а  у в)  (у а  у с)  у а  (у в  у с)

у А(ВС).

2.Доказать, что (АВ)=АВ.

Решение

хù(АÇВ)х(АВ)хА Ú хВхùА  хùВ.

хùАВ хА Ú хВ хА Ú хВ хАВ хù(АÇВ).

3. Доказать, что для любых А,В и С справедливо равенство А\(ВС) =(А\В) (А\С).

Решение

х А\(ВС)хА  хВС хА  хВ  хС хА  хВ  хА  хСх(А\В)  х(А\С) х(А\В) (А\С);

х(А\В) (А\С) хА\В  хА\С хА  хВ  хА  хС

 хА  (хВ  хС) хА  х(ВС) х А\(ВС).

4. Доказать, что АВАСВС.

Решение

(АВ);

хАСхА  хС  хВ  хСхВС.

Задачи для самостоятельного решения

1. Справедливы ли неравенства:

а) {а₁, а₂}|={а₁, а₁, а₂};

б) {а₁, а₂}={а₂, а₁}.

2. Найти множества:

а) {х₁, х₂, х₃}{х₃, х₄};

б) {х₁, х₂, х₃}{х₂, х₄, х₅};

в) {х₁, х₂, х₃}\{х₃, х₄, х₅}.

3. Доказать следующие тождества:

а) АА = АА = А;

б) АВ = ВА;

в) АВ = ВА;

г) (АВ)С = А(ВС);

д) (АВ)С = А(ВС);

е) А(ВС) = (АВ)(АС);

ж) (АВ) = АВ;

з) А\(ВС) = (А\В)(А\С);

и) А\(А\В) = АВ;

к) А\В = А\(АВ);

л) А( В\С) = (АВ)\(АС) = (АВ)\С;

м) (А\В)\С = (А\С)\(В\С);

о) АВ = А(В\А);

п )(А) = А;

р) (АВ)(АВ) = (АВ)(АВ) = А;

с) (АВ)\С = (А\С)(В\С);

т) А\(В\С) = (А\В)(АС);

у) А\(ВС) = (А\В)\С.

4. Доказать, что для произвольных множеств А, В и С справедливы равенства:

а ) (АВ)\(АВ) = (АВ)(ВА);

б) (А\В) = А(АВ);

в) (С\А)(С\В) = АВС;

г) А\((АВ)(А\В)) = .

5. Доказать, что:

а) АВСАС ВС;

б) АВС АВ  АС;

в ) АВС АВС;

г ) АВС АВС;

д) (А\В)В = АВА;

е) (АВ)С = А(ВС)СА;

ж) АВАСВС;

з) АВ АСВС;

и) АВ(А\С)(В\С);

к) АВ(С\В)(С\А);

л) АВВА;

м) АВ = АВА=В;

н ) А=В  АВ = О АВ=U;

о) А\С=СВС=А;

п) ВС=А А\В=С;

р) (А\В)(В\А) = ОА=В.

6. Доказать тождества:

а) А÷В=В÷А;

б) А÷ (В÷С)=( А÷В)÷С;

в) А (В÷С)= ( АВ)÷ (АС);

г) А÷ (А÷В)=В;

д) АВ= А÷В÷ (АВ);

е) А\В= А÷ (АВ);

ж) А÷=А;

з) А÷А=;

и ) А÷U=А;

к) АВ=(А÷В)(АВ).

7. Доказать, что:

а) А÷В=О  А=В;

б) АВ=О  АВ= А÷В;

в) А÷В=С  В÷С=А.

4.2. Векторное произведение

Вектор (кортеж)  это упорядоченный набор (последовательность) элементов, в которой каждый элемент занимает определённое место: С=(х₁, х₂, х₃). Упорядоченный набор символов называется алфавитом. Число элементов кортежа называют его длиной или размерностью. Кортеж длиной два называют двойкой (упорядоченной парой), длинной ń – энкой .

Прямым (декартовым) произведением множеств Х и У называют множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству Х, а вторая  множеству У. Таким образом, элементами прямого произведения являются двухэлементные картежи (х,у):

Х У { (х,у) / хХ, уУ }.

Пример

А=(а₁, а₂, а₃); В=(в₁, в₂).

А В={(а₁, в₁), (а₁, в₂), (а₂, в₁), (а₂, в₂), (а₃, в₁), (а₃, в₂)}.

Прямым произведением множеств Х₁, Х₂, … , Х_n называют множество, обозначаемое Х₁ Х₂ … Х_n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству Х₁ , вторая  Х₂, и так далее:

Х₁ Х₂ … Х_n {(х₁, х₂, … ,х_n) / х₁ Х₁, х₂ Х₂, … , х_n  Х_n }.

Если Х₁=Х₂=…=Х_n, то множество Х₁ Х₂ … Х_n называется прямой степенью множества Х и обозначается Хⁿ.

Задачи и упражнения

1. Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то:

а) АВСD А CB D;

б) ( АВ) (СD )= (А C)(B D);

в) А (В\С)=(А В)\(А C);

г) (А\В) С=(А С)\(В C).

Решение

ABCD;

а)(x, y)А CxA, yC  xB, yD(x, y)B D А CB D;

А CB D;

xA, yC xB, yD АВСD;

б) (x, y)(AB) (СD)xAB, yСD xA  xB, yС  yD xA, yС  xB, yD(x, y)(А C)  (x, y)(B D)(x, y) (А C)(B D) (AB) (СD) (А C)(B D);

(x, y)(А C)(B D)(x, y)(A C)  (x, y)(B D)

 xA, yС  xB, yD xA  xB, yС  yD

 xAB, yСD(x, y)(AB) (СD) (AB) (СD).

в) (x, y) А (В\С) xA, уB\С xA, уB  уС xA, уB  xA, уС (x, y) А В  (x, y)А С(x, y)(А В)\(А C) А (В\С)(А В)\(А C);

(x, y)(А В)\(А C)(x, y)(А В)  (x, y)(А С)

 xA, уB  (xA, уС  xA, уС  xA, уС)

(но х не может одновременно и принадлежать множеству А и не принадлежать ему, поэтому принимаем xA, уС)

 xA, уB  xA, уС xA, (уB  уС) xA, уB\С

 (x, y) А (В\С) (А В)\(А C) А (В\С);

г) (x, y)(А\В) Сх А\В, уС хА  хВ, уСхА, уС  хВ, уС (x, y)(А С)  (x, y)(В C)

 (х,y)А С\В C(А\В) С(А С)\(ВC);

(x, y)А С\В C(x, y)(А С)  (x, y)(В C) хА, уС  (хВ, уС  хВ, уС  хВ, уС) хА, уС  хВ, уС (хА  хВ), уВ хА\В, уВ(x, y)(А\В) С (А С)\(В C) (А\В) С;

Задачи для самостоятельного решения

2. Пусть Х={х, (у, z), (a, b), {d}}, У={x, (k, e), {m, n}}.

Найти:

а) Х У;

б) (Х\У) Х;

в) (ХУ) У;

г) (ХУ) А;

д) Х(Х У);

е) Х .

3. Найти декартов квадрат множества А={1, 2, 3, 4}.

4. Найти декартов куб множества В={5, 6, 7}.

5. Доказать, что если A, B, C и D не пусты, то А=В и С=D А С=D D.

6. Доказать, что А_t B_t=( А_t B_t).

7. Доказать тождество:

а) (А В)(C D)(AC) (BD);

б) (AB) С=(А C)(B C);

в) А (BC)= (А В)(A C);

г) (AC) (CD)=(А C)(B C) (А D)(B D);

д) (А\В) С=(А С)\(В C);

е) А (В\С)=(А В)\(А C).

8. Доказать, что если множества A, B, C и D не пусты, то:

а) АВ  CDА СВ D;

б) A=B  C=D А С=В D;

в) А СВ D АВ  CD;

г) А С=В D A=B  C=D;

е) (А В)(С D) (AC) (BD).