2.26. Операции над бинарными отношениями
Так как отношения это множества, то над ними можно производить операции.
Операции над отношениями можно разделить на 2 класса:
1. Операции, которые сводятся к теоретико-множественным операциям.
2. Операции, которые не сводятся к теоретико-множественным операциям.
Рассмотрим операции 1-го класса.
2.26.1. Объединение отношений
Пусть
заданы следующие бинарные отношения
,
и
,
,
заданные на одном и том же множестве
.
Объединением отношений и называется отношение , определяемое объединением соответствующих множеств:
.
Для
и
соотношение
выполняется тогда и только тогда, когда
выполнено хотя бы одно из соотношений
или
.
Пример 2.22
Пусть
множество
вещественных чисел, накотором заданы
бинарные отношения
,
и
,
.
Отношение
означает
«быть больше», т.е.
можно записать как
.
Отношение
означает «быть равным», т.е.
можно записать как
.
Тогда отношение
означает «быть болше или равным». Для
любых
и
из
множества
соотношение
(или в другой форме
)
означает, что элемент
больше или равен элементу
,
т.е.
.
2.26.2. Пересечение отношений
Рассмотрим те же отношения , и , , заданные на одном и том же множестве .
Пересечением отношений и называется отношение , определяемое пересечением соответствующих множеств:
.
Для
и
соотношение
выполняется тогда и только тогда, когда
одновременно выполнено каждое из
соотношений
и
.
Пример 2.23
Рассмотрим
множество вещественных чисел, накотором
заданы бинарные отношения
,
и
,
.
Отношение
означает «быть не меньше», т.е. запись
имеет вид
,
а
«быть не равным», т.е.
имеет вид
.
Тогда отношение
означает «быть строго больше». Для любых
и
из
множества
соотношение
(или в другой форме
)
означает, что элемент
строго больше элемента
,
т.е.
.
2.26.3. Разность отношений
Рассматриваются те же отношения , и , , заданные на одном и том же множестве . Разностью отношений и называется отношение , определяемое пересечением соответствующих множеств:
.
Для
и
соотношение
выполняется тогда и только тогда, когда
соотношение выполняется
,
а соотношение
не выполняется, т.е. когда
и
.
Пример 2.24
Если
множество
вещественных чисел, накотором заданы
бинарные отношения
,
и
,
,
отношение
означает
«быть больше, т.е.
а
«быть не равным», т.е.
.
Тогда отношение
означает «быть болше или равно». Для
любых
и
из
множества
соотношение
(или в другой форме
)
означает, что элемент
больше или равенэлемента
,
т.е.
.
2.26.4. Включение отношений
Нестрогое
включение
отношения
в отношение
выполняется тогда и только тогда, когда
множество упорядоченных пар, для которых
выполняется отношение
,
содержится содержится в множестве пар,
для которых выполнено отношение
:
.
Строгое
включение
отношения
в отношение
выполняется тогда и только тогда, когда
множество упорядоченных пар отношения
является подмножеством пар отношения
и
:
.
Пример 2.25
На
множестве
рассмотрим
отношения
и
из
предыдущего примера:
,
и
,
,
где
«быть меньше», т.е.
,
а
«быть меньшим или равным», т.е.
.
Тогда
,
т.е.
.
Рассмотрим операции второго класса, т.е. операции, не сводящиеся к теоретико-множественным.