2.10. Композиция соответствий.

Рассмотрим два соответствия: и , для которых справедливо равенство . Такие соответствия могут составить композицию (или произведение), график которой обозначается как . Композицию соответствий называют ещё произведением или суперпозицией соответствий. Высказывательная форма графика композиции соответствий имеет вид:

.

При композиции соответствий каждому элементу ставится в соответствие элемент , такой, что , , (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Геометрическая интерпретация композиции соответствий

При композиции соответствий каждому элементу ставится в соответствие элемент , такой, что , , . Образ элемента можно представить как . Таким образом, отображение через точку отображает точку в точку : . Это можно отобразить в виде схемы, представленной на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Схема суперпозиций соответствий и

2.11. Отображения

Рассмотрим некоторое соответствие , .

Допустим, что это соответствие обладает следующим свойством , т.е. область определения соответствия совпадает с областью отправления. Это соответствие всюду определено на всем множестве , т.е. все элементы множества участвуют в сопоставлении. Относительно области прибытия, т.е. множества , ничего не говориться.

Такое всюду определенное соответствие называется отображением и формально записывается следующим образом: или .

Таким образом, любое отображение является соответствием, но не наоборот. В связи с этим для отображений сохраняются понятия обратного отображения, композиции отображений, образа элемента, прообраза элемента.

2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)

Рассмотрим отображение , (или ), обладающее следующим свойством: каждому элементу множества ставит в соответствие по закону только один элемент множества , но каждому элементу из , в общем случае, может ставиться в соответствие и несколько элементов множества . Такое отображение называется однозначным. Не следует путать понятие однозначности с понятие взаимной однозначности, о котором речь пойдёт несколько позже.

Однозначное отображение называется функциональным отображением, или функцией.

Условие однозначности может быть записано следующим образом:

,

В виду того, что функция является отображением, в теоретико-множественном смысле она представляет собой множество упорядоченных пар. Поэтому высказывательная форма функционального отображения имеет следующий вид:

.

На рис. 2.12 и рис. 2.13 приведены примеры графиков функциональных отображений, а на рис. 2.14 и рис. 2.15 – нефункциональных отображений.

Рассматриваемое функциональное отображение представляет собой функцию одной переменной. Как известно, в математике распространены функции многих переменных. Возникает вопрос о теоретико-множественном представлении функции многих переменных.

Рис. 2.12. Функциональное отображение

Рис. 2.13. Функциональное отображение

Рис. 2.14. Нефункциональное отображение

Рис. 2.15.. Нефункциональное отображение

Представим себе, что в отображении множество представляет собой декартово произведение . Тогда имеем функциональное отображение (или ), представляющее собой функцию переменных. Очевидно, что такое отображение представляет собой множество упорядоченных множеств длиной :

.

При этом элемент является образом элементов :

.