3.3. Автоморфизмы
Рассмотрим алгебраичскую систему
,
,
,
,
.
Зададим
отображение
,
обладающее свойством согласованности
с операциями
,
и отношениями
,
:
,
,
;
,
,
.
Пример 3.1
Рассмотрим
алгебраическую систему с одной операцией
и одним отношением
,
,
.
Пусть
и
,
т.е. рассматривается двуместная операция
и
бинарное отношение
:
,
.
Допустим, что
представляет собой операци сложения,
а
–
отношение «быть больше». Тогда можно
запмсать:
,
,
.
Зададим
отображение
,
представляющее собой умножение на число
.
Тогда
,
.
Запишем
условия согласованности:
и
для нашего случая.
Имеем
;
.
Теорема 3.1. (Теорема об обратном изоморфизме).
Пусть
и
– однотипные алгебры
,
,
,
.
Допустим, что
–
изоморфизм. Тогда
также изоморфизм.
Доказательство
Если
отображение
является изоморфизмом, то имеет место
согласованность со всеми парами
одноимённых операций
,
.
Является
очевидным, что для любого
из множества
найдётся и притом только один элемент
из
,
являющийся образом элемента
:
,
.
Аналогично будем рассуждать для всех
остальных элементов:
,…,
.
Запишем условие согласованности
отображения
с одноимёнными операциями:
.
Тогда
или
.
Последняя запись подтверждает
согласованность одноимённых операций
с отображением
,
т.е. отображение
является морфизмом. Можно доказать, что
биективно. Последнее предлагается
студентам доказать самостоятельно.
Теорема 3.2. (Теорема о композиции изоморфизмов).
Пусть даны три универсальных алгебры:
, ,
, ,
,
.
Допустим,
что
и
– изоморфизмы. Тогда изоморфизмом
является композиция отображений
.
Доказательство.
Поскольку
отображения
и
изоморфизмы, то они биективны. Тогда у
любого элемента
из
найдётся образ
из
и причём только один. Тогда можно
записать:
,
;
,
:
……………………………………
,
.
Аналогично относительно отображения :
,
;
,
;
…………………………………….
,
.
Если и изоморфизмы, то можно записать условия согласованности с одноимёнными операциями:
.
Но
. Тогда
Последняя
запись означает согласованность
одноимённых операций
и
относительно композиции отображений
.
Свойство биективности отображения
предлагается студентам доказать
самостоятельно.
3.4. Виды универсальных алгебр
3.4.1. Полугруппы. Моноиды
Пусть
дана универсальная алгебра с одной
двуместной операцией:
,
.
Эта алгебра называется полугруппой,
если её операция ассоциативна, т.е.
,
,
выполняется условие
.
В
полугруппе могут присутствовать или
отсутствовать такие элементы, как левая
единица
,
правая единица
и просто единица
:
,
;
,
;
.
Теорема 3.3
Если
полугруппа одновременно имеет и левую
и
правую
единицу,
то эти элементы совпадают и являются
единственной единицей
группы.
Доказательство.
Пусть
полугруппа
,
содержит одновременно левую
и правую
единицы. Выполним над ними операцию
,
имеем:
.
Определение 3.6
Полугруппа, содержащая единицу, называется моноидом.
В
полугруппе могут присутствовать или
отсутствовать такие элементы, как левый
ноль
,
правый ноль
и просто ноль
:
,
;
,
;
.
Теорема 3.3
Если
полугруппа одновременно имеет и левый
и
правый
ноль,
то эти элементы совпадают и являются
единственным нулём
группы.
Доказательство
Пусть
полугруппа
,
содержит одновременно левый
и правый
нули. Выполним над ними операцию
,
имеем:
.
Определение 3.7
Рассмотрим
моноид
,
.
Элемент
называется элементом, обратимым слева,
если найдётся такой элемент
из
,
что выполняется:
.
Элемент
называется левым элементом, обратным
элементу
.
Определение 3.8
Рассмотрим
моноид
,
.
Элемент
называется элементом, обратимым справа,
если найдётся такой элемент
из
,
что выполняется:
.
Элемент
называется правым элементом, обратным
элементу
.
Теорема 3.4
Если элемент моноида , обратим слева и справа, то левый и правый элементы, обратные элементу , совпадают.
Доказательство.
Для доказательства выполним операцию :
,
что
и требовалось доказать. Элемент, обратный
элементу
,
будем обозначать
.
Определение 3.9
Группой называется моноид, в котором каждый элемент обратим.
Определение 3.10
Группа
называется коммутативной или абелевой,
если её операция коммутативна:
,
.