3. Алгебраические системы

3.1. Понятие алгебраической системы

Алгебраическая система – это множество с определёнными на нём операциями и отношениями. Алгебраическая система принадлежит к числу основных математических структур и имеет глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50^х годов 20 века на границе между алгеброй и математической логикой.

Определение 3.1

Алгебраической системой называется объект , состоящий из непустого множества , семейства местных алгебраических операций , и семейства арных отношений , , заданных на множестве .

Таким образом, алгебраическая система описывается кортежем . Переменные показатели декартовых степеней и представляют собой целые неотрицательные числа. Множество называется носителем, или основным множеством алгебраической системы , а семейство множеств , её сигнатурой. Образ элемента при отображении называется значением операции в точке . Если , то говорят, что элементы из находятся в отношении и пишут в префиксной форме или в постфиксной форме . Операции , и отношения , , в отличие от других операций и отношений, которые могут быть заданы на , называются основными или главными. Пара семейств называется типом алгебраической системы.

Определение 3.2

Две алгебраических системы и называются однотипными, если , если , , , . Основные операции , и отношения и называются одноимёнными.

Таким образом, тип алгебраической системы – это последовательность чисел .

Определение 3.3

Алгебраическая система называется конечной, если множество конечно. Алгебраическая система называется алгебраической системой конечного типа, если множество конечно.

Алгебраическая система конечного типа задаётся в виде , , , . Алгебраическая система называется универсальной алгеброй или просто алгеброй, если множество основных отношений является пустым: .

Определение 3.4

Алгебраическая система называется моделью или реляционной системой, если множество основных операций пусто: .

Определение 3.5

Непустое множество называется замкнутым относительно операции , если выполняется , т.е. результат операции принадлежит множеству .

Если рассматривать операции , и отношения , , то получим алгебраическую систему , однотипную данной, которая называется подсистемой алгебраической системы . Подсистемы универсальных алгебр называются подалгебрами, а подсистемы моделей – подмоделями.

3.1. Морфизм алгебраических систем

Рассмотрим две алгебраические системы: , , , , и , , , , . Очевидно, что алгебраические системы и являются однотипными. Рассмотрим отображение . Будем говорить, что это отображение согласовано с операцией и отношением , если выполняются следующие соотношения:

;

;

или в префиксной форме

.

Определение 3.5

Отображение называется морфизмом алгебраической системы на алгебраическую систему , если оно согласовано со всеми парами операций , , и отношений , .

Если отображение соръективно, то это гомоморфизм, если отображение инъективно, то это мономорфизм, если отображение биективно, то это изоморфизм.