2.9. Соответствия

Рассмотрим два произвольных множества и . Допустим, что некоторым элементам множества , по какому то закону ставятся в соответствие некоторые элементы множества . Таким образом, некоторые элементы множества сопоставляются по закону с некоторыми элементами множества . Если способ сопоставления определен, то говорят на множествах и задано соответствие (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Геометрическая интерпретация соответствия

Элементами множеств и могут быть как числа, так и любые объекты, например, списки сотрудников и их зарплаты, списки студентов и их оценки по предметам и т.д. Соответствие представляет собой математический объект, который формально описывается кортежем длиной 3 (упорядоченной тройкой):

,

где область отправления соответствия. Это множество , некоторые элементы которого сопоставляется по закону с элементами множества . В соответствии не все элементы множества участвуют в сопоставлении. Во множестве остаются свободные элементы.

область прибытия соответствия. Это множество, с элементами которого сопоставляются по закону элементы множества . В соответствии не все элементы множества участвуют в сопоставлении. Во множестве могут существовать свободные элементы.

это закон, который некоторым элементам множества ставит в соответствие один или несколько элементов множества . Закон называется графиком соответствия и представляет собой подмножество декартового произведения областей прибытия и отправления : . Согласно рисунку 2.11 график соответствия представляет собой множество упорядоченных пар: .

Подмножество элементов области отправления , которые участвуют в сопоставлении, называется областью определения соответствия. Область определения соответствия представляет собой не что иное, как проекцию графика соответствия на множество :

.

Подмножество элементов множества , которые участвуют в сопоставлении называются областью значений соответствия. Область значений соответствия представляет собой проекцию графика соответствия на множество :

.

Возьмем любой произвольный элемент из области определения соответствия: . Дадим определение образа элемента. Образом элемента называется множество таких элементов из , которые составляют упорядоченную пару с элементом  в рамках графика соответствия . Образ элемента обозначается или и формально описывается высказывательной формой:

.

Пример 2.13

Найдём образ элемента из области определения соответствия , геометрическая интерпретация которого приведена на рис. 2.11: .

Возьмем любой произвольный элемент из области значений соответствия: . Дадим определение прообраза элемента. Прообразом элемента называется множество таких элементов из , которые составляют упорядоченную пару с элементом в рамках графика соответствия . Прообраз элемента обозначается или и формально описывается высказывательной формой:

.

Пример 2.14

Найдём прообраз элемента из области значений соответствия , геометрическая интерпретация которого приведена на рис. 2.11: .

Существует понятие обратного соответствия. Соответствием, обратным данному называется соответствие . Геометрическая интерпретация обратного соответствия получается посредством изменения направления стрелок на обратные. Область отправления исходного соответствия становится областью прибытия обратного соответствия, и наоборот.