- •Е.Д. Стрельцова, в.С. Стрельцов моделирование дискретных систем Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дискретная математика»
- •2. Теория множеств и отношений………………………………….20
- •Введение
- •1. Функции алгебры логики
- •1.1. Основные понятия
- •Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
- •1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
- •1.3. Элементарные функции алгебры логики
- •Функции алгебры логики, зависящие от одного аргумента
- •Вопросы к разделу 1
- •2. Теория множеств и отношений
- •2.1. Множества. Способы задания множеств
- •2.2. Основные операции над множествами
- •2.2.1. Объединение множеств
- •2 .2.2. Пересечение множеств
- •2.2.3. Разность множеств
- •2.2.4. Дополнение множеств
- •2.4. Свойства операций над множествами
- •2.5. Упорядоченные множества
- •2.6. Прямое (декартово) произведение множеств
- •2.7. Степень множеств
- •2.8. Сечение и проекция
- •Декартово произведение
- •2.9. Соответствия
- •2.10. Композиция соответствий.
- •2.11. Отображения
- •2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
- •2.13. Функционалы
- •2.14. Операторы
- •2.15. Линейные операторы
- •Отношение «Читает лекции по…»
- •Отношение «Посещать лекции»
- •2.20. Бинарные отношения
- •2.20.1. Матричный способ задания отношений
- •2.20.2. Задание отношений в виде графа
- •2.20.3. Задание отношений с помощью фактор множества
- •2.21. Свойства бинарных отношений
- •2.22. Отношение эквивалентности
- •2.23. Отношение порядка
- •2.24. Изоморфизм отношений
- •2.26. Операции над бинарными отношениями
- •2.26.1. Объединение отношений
- •2.26.2. Пересечение отношений
- •2.26.3. Разность отношений
- •2.26.4. Включение отношений
- •2.26.5. Переход к обратному отношению
- •2.26.6. Произведение отношений
- •2.26.7. Транзитивное замыкание
- •Вопросы к разделу № 2
- •3. Алгебраические системы
- •3.1. Понятие алгебраической системы
- •3.1. Морфизм алгебраических систем
- •3.3. Автоморфизмы
- •3.4. Виды универсальных алгебр
- •3.4.1. Полугруппы. Моноиды
- •3.4.2. Морфизм групп
- •3.4.3. Свойства морфизма групп
- •3.4.4. Кольцо
- •Вопросы к разделу №3
- •4. Практикум к решению задач Основные обозначения
- •4.1. Операции над множествами
- •Разностью множеств а и в называется множество
- •Симметрической разностью множеств а и в называется множество
- •Пустым множеством называется множество, не имеющее ни одного элемента.
- •Задачи и упражнения
- •На основании (14) можно записать
- •По определению объединения
- •Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав) у (ас) (у а у в) (у а у с) у а (у в у с)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2. Векторное произведение
- •4.3. Соответствие
- •Свойства отношений
- •Список литературы
- •Моделирование дискретных систем
- •3 46428, Г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
2.13. Функционалы
ФУНКЦИОНАЛ [functional] – переменная величина, заданная на множестве функций, т.е. зависящая от одной или нескольких функций. По другому определению – функция, аргументы которой также представляют собой функции некоторых переменных. Примерами Ф. являются площадь, ограниченная замкнутой кривой заданной длины, работа силового поля вдоль того или иного пути и т.д.
Функциона́л – числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т.д. Поэтому, неформально говоря, функционал – это функция от функций, переводящая функцию в число.
Для разбора понятия функционала рассмотрим функциональное отображение , в котором множество представляет собой некоторое множество функций
,
а множество действительных чисел. Такое отображение называется функционалом. Функционал – это множество упорядоченных пар, первый элемент которых представляет собой некоторую функцию, а второй элемент – действительное число:
.
Пусть дан некоторый класс функций . Если каждой функции по некоторому закону (правилу) поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что в классе определен функционал , и пишут . Класс функций , на котором определен функционал , называется областью задания функционала.
Пример 2.15.
Пусть – совокупность всех непрерывных функций y(x), заданных на отрезке [a,b], и пусть
. (1)
Тогда есть функционал от : каждой функции отвечает определенное значение . Этот функционал геометрически означает площадь, ограниченную кривой , осью и ординатами , .
Подставляя в (1) вместо конкретные функции, мы будем получать соответствующие значения . Положим для определенности , :
;
Если , то ;
если , то ;
если , то .
Пример 2.16
Пусть – класс (совокупность) всех непрерывных функций , обладающих непрерывной первой производной на отрезке [a,b]. Тогда
(2)
будет функционалом, определенным на этом классе функций. Функционал (2) геометрически выражает длину дуги кривой с концами в точках и .
Например, если , , , то
.
Если (цепная линия, гиперболический косинус), , то
.
Пример 2.17
Пусть по прежнему, и пусть
.
Ясно, что есть функционал, определенный в указанном классе функций: каждой функции из этого класса ставится в соответствие определенной число – значение производной этой функции в фиксированной точке .
Если, например, , и , то для имеем:
;
для имеем:
;
для имеем:
.
Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум, максимум) заданному функционалу.
2.14. Операторы
В информационных системах это правило, переводящее некоторый объект или систему из одного состояния в другое, элемент решения задачи. В качестве оператора, например, может выступать модель, реализующая некоторое преобразование над входными данными.
Рассмотрим функциональное отображение , где и – множества функций: , .
В этом случае отображение называется оператором.
Оператор представляет собой множество упорядоченных пар, первый и второй элементы которых представляют собой функции.
Таким образом, под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).
.
В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:
- префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
;
- постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
;
- инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
;
- позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
- подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.
Примеры операторов
Оператор, действующий над пространствами функций – это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции согласно правилу в другую функцию имеет вид или, проще, .
Примерами подобных преобразований – умножение на число: , дифференцирование , интегрирование . Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.
Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции в другую функцию y того же аргумента . Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:
.
Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке зависит не только от , а от значений функции во всех точках .
Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.
Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.