- •Е.Д. Стрельцова, в.С. Стрельцов моделирование дискретных систем Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дискретная математика»
- •2. Теория множеств и отношений………………………………….20
- •Введение
- •1. Функции алгебры логики
- •1.1. Основные понятия
- •Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
- •1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
- •1.3. Элементарные функции алгебры логики
- •Функции алгебры логики, зависящие от одного аргумента
- •Вопросы к разделу 1
- •2. Теория множеств и отношений
- •2.1. Множества. Способы задания множеств
- •2.2. Основные операции над множествами
- •2.2.1. Объединение множеств
- •2 .2.2. Пересечение множеств
- •2.2.3. Разность множеств
- •2.2.4. Дополнение множеств
- •2.4. Свойства операций над множествами
- •2.5. Упорядоченные множества
- •2.6. Прямое (декартово) произведение множеств
- •2.7. Степень множеств
- •2.8. Сечение и проекция
- •Декартово произведение
- •2.9. Соответствия
- •2.10. Композиция соответствий.
- •2.11. Отображения
- •2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
- •2.13. Функционалы
- •2.14. Операторы
- •2.15. Линейные операторы
- •Отношение «Читает лекции по…»
- •Отношение «Посещать лекции»
- •2.20. Бинарные отношения
- •2.20.1. Матричный способ задания отношений
- •2.20.2. Задание отношений в виде графа
- •2.20.3. Задание отношений с помощью фактор множества
- •2.21. Свойства бинарных отношений
- •2.22. Отношение эквивалентности
- •2.23. Отношение порядка
- •2.24. Изоморфизм отношений
- •2.26. Операции над бинарными отношениями
- •2.26.1. Объединение отношений
- •2.26.2. Пересечение отношений
- •2.26.3. Разность отношений
- •2.26.4. Включение отношений
- •2.26.5. Переход к обратному отношению
- •2.26.6. Произведение отношений
- •2.26.7. Транзитивное замыкание
- •Вопросы к разделу № 2
- •3. Алгебраические системы
- •3.1. Понятие алгебраической системы
- •3.1. Морфизм алгебраических систем
- •3.3. Автоморфизмы
- •3.4. Виды универсальных алгебр
- •3.4.1. Полугруппы. Моноиды
- •3.4.2. Морфизм групп
- •3.4.3. Свойства морфизма групп
- •3.4.4. Кольцо
- •Вопросы к разделу №3
- •4. Практикум к решению задач Основные обозначения
- •4.1. Операции над множествами
- •Разностью множеств а и в называется множество
- •Симметрической разностью множеств а и в называется множество
- •Пустым множеством называется множество, не имеющее ни одного элемента.
- •Задачи и упражнения
- •На основании (14) можно записать
- •По определению объединения
- •Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав) у (ас) (у а у в) (у а у с) у а (у в у с)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2. Векторное произведение
- •4.3. Соответствие
- •Свойства отношений
- •Список литературы
- •Моделирование дискретных систем
- •3 46428, Г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
2.7. Степень множеств
Рассмотрим декартово произведение , в котором декартовы сомножители совпадают: . Обозначим каждое из этих множеств через . Тогда декартово произведение представляет собой декартову степень множества :
.
Декартова степень множества с показателем степени представляет собой множество упорядоченных . Высказывательная форма множества имеет вид:
.
Пример 2.9
Рассмотрим множество . Найдём для него вторую декартову степень:
.
Аналогично можно задать множество, представляющее слбой третью декартову степень множества :
.
Если число элементов множества обозначить как , то .
2.8. Сечение и проекция
Сначала разберём понятие проекции. Рассмотрим некоторое множество и . В соответствии с определением элемент представляет собой упорядоченную пару , первый элемент которой принадлежит множеству , а второй – множеству : , . Элемент является проекцией множества на множество и обозначается , а проекцией множества на множество и обозначается .
Рассмотрим множество Е, которое представляет собой подмножество множества : .
Можно говорить о проекции подмножества E на множества и .
Проекцией множества на множество называется множество тех элементов, которые являются проекциями всех элементов множества на множество . Высказывательная форма проекций множества на множества и записывается в виде:
, .
Пример 2.10
Рассмотрим множества и . Множество зададим таблицей 2.1.
Зададим множество методом перечисления его элементов:
.
Тогда если , то , , , .
Таблица 2.1
Декартово произведение
Пример 2.11
Декартово произведение . Если и представляют собой множества действительных чисел, то геометрической интерпретацией множества является множество точек плоскости (рис 2.10.).
Рис. 2.10. Множество для примера 1
Рассмотрим подмножество , представляющее собой некоторую кривую и множество , в свою очередь являющееся подмножеством , . Проекциями множества на множества и являются следующие множества:
, .
Множество может представлять собой декартово произведение множеств, число которых больше двух:
.
Если рассмотреть некоторое подмножество этого множества , то можно говорить о проекции этого множества на множество :
.
Разберём понятие сечения. Рассмотрим некоторый элемент из множества . Тогда сечение множества элементом называется множество элементов из , которые составляют упорядоченную пару из множества :
.
Аналогично можно рассматривать сечение множества элементом : .
Пример 2.12
Рассмотрим множества , и множество , заданное таблицей 2.1. Тогда сечением множества элементом является множество , а сечением множества элементом является множество .
Рассмотрим понятие сечения, когда множество является подмножеством множества
.
Тогда сечение множества элементом представляет собой множество, задаваемое высказывательной формой:
.
Можно говорить о сечении множества более сложным элементом, представляющим собой упорядоченное множество :