38. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность не близка к 0. Для вычисления биномиальных вероятностей используют Теоремы Муавра- Лапласа.

Локальная Теорема Муавра- Лапласа. Если вероятность поступления события А, в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1, а число испытаний(n) достаточно велико, то , где .

Формулу можно переписать: - функция Гаусса

При

В тех случаях когда требуется вычислить вероятность того что в n независимых состояниях события А, появится не менее и не более используют интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1, то , где . - нормированная функция Лапласа.

При

39. Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.

Во многих случаях результат опыта определяется 2-мя случайными величинами X и Y.

Рассмотрим дискретное распределение , которые принимают конечное число значений, в этом случае распределение вероятности определяется формулой:

, и . Совокупность i и j дает распределение вероятности:

. Аналогично для Y.

Исчерпывающей характеристикой случайных процессов определенными двумя случайными величинами является функция распределения.

Функция распределения системы случайных величин называется функция , определяемая формулой

Свойства двумерной функции распределения:

• Если то

• - непрерывна слева по каждому из своих аргументов

• 

• 

• 

40. Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.

Плотности вероятности системы случайных величин.

Случайная величина X называется непрерывной, если все её возможные значения целиком заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

В случае системы непрерывность случайных величин X,Y – её законы распределения удобно составлять по плотности вероятности.

Двумерный случайных величин называется непрерывным, если её - есть непрерывная функция, дифференцируемая по x и y, по которым существует 2-ая смешанная производная.

Плотность вероятности системы случайных величин двух переменных называется вторая смешанная производная её функции распределения .

Свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

Независимые события определение -

Условные законы распределения.

Условные законы распределения одной из случайных величин входящих в систему называются законами распределения найденного при условии, что другая случайная величина принимала определенное значение или попала в интервал.

Для дискретных событий:

Аналогично условная плотность вероятности

41. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.

Математическое ожидание случайных величин называется упорядоченная пара , где

Если каждой паре возможных значений случайных величин соответствует одно значение - случайная функция для двух переменных .

Если величина g дискретна, то

Для непрерывного случая

и

- дисперсии случайных величин.

Аналогично для Y.