33. Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.

Аксиома: общие свойства вероятностей в статическом и классическом смыслах.

Общие свойства:

• Вероятность от 0 до 1

• 

• для A и B – несовместных событий.

Вероятность P(A) – числовая функция определённая на числовом промежутке Ω и удовлетворяет 3 аксиомам:

• неотрицательность

• нормированность

• аддитивность

Расширенная аксиома

Свойства:

• 

• 

• 

• 

Формула сложения:

Правило суммы: Если некоторые действия можно выполнить m способами, А другое n способами, Причём любой способ выполнения первого отличен от выполнения второго действия, то следующее действие можно выполнить (n+m) способами.

Правило умножения, если некоторое действие может быть выполнено для каждого из них некоторое другое действие можно осуществить n способами, то сложное действие и первое, и второе n*m способами. Выбор m из n – выборка объёма m.

Схемы выбора: Без повторений , Перестановка , Сочетание без повторения , Размещение с повторением

34. Условные вероятности. Независимость событий.

Условной вероятностью называется событие A при условии, что событие B произошло в данном опыте называется величина отношения общей вероятности к вероятности В.

Общий случай: .

Событие A называется независимым от B, если вероятность их совместного появления совпадает с вероятностью A.

Для независимых событий вероятность совместного появления AB равно P(B)*P(A).

События независимы, если .

Если независимы, то .

35. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Гипотезы – полная группа событий, вместе образующих достаточно верное событие.

Всякое событие A в данном опыте м/б .

Формула полной вероятности: .

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления новой вероятности после наступления тех или иных событий. .

36. Схема Бернулли.

Пусть A – случайное событие, наблюдаемое в некотором испытании. Возможны 2 исхода (успех или неудача). В испытании не изменяется условие, и оно проводится n раз.

Тогда существует формула Бернулли: Пусть производится n независимых испытаний, в каждом с одной и той же вероятностью P может наступить одно и тоже событие A. Вероятность B заключается в следующем, в n испытаниях событие A наступит ровно k раз. Тогда событие B может быть представлено в виде суммы несовместных событий, каждое из которых включает k успехов и n-k неудач. Каждому такому событию в n испытаниях будет соответствовать чередующихся порядков в n испытаниях. Количество таких слагаемых равно числу сочетаний при этом вероятность такого события равна ( ).

37. Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.

Предельная теорема в схеме Бернулли: при больших значения n (числа опытов) вычисления могут быть большие. Поэтому есть необходимость в описании формулы для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Для этого используются предельные теоремы.

Теорема Пуассона:

Пусть , таким образом, что , где a > 0 - заданное число. Тогда для любого фиксированного k: . Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности P_n,p(k) аппроксимируются пуассоновским распределением.

Доказательство:

Для краткости будем считать, что , p = a / n.Тогда

поскольку выражение в квадратных скобках стремится к единице, если k фиксировано, а .